14강 / 20강

포화하는 소실 — 용량을 조금 올렸는데 농도가 불쑥 뛴다

Michaelis-Menten · Km 근처가 위험한 이유 · 페니토인과 에탄올

지금까지는 "남은 양에 비례해 사라진다" 고 했습니다(1차 소실). 그런데 치우는 것은 효소이고, 효소에는 정원이 있습니다.

소실 속도 = V_max · C / (K_m + C)

농도가 K_m 보다 훨씬 낮으면 분모가 사실상 K_m 이라 속도가 C 에 비례합니다 — 우리가 아는 1차 소실이에요.

농도가 K_m 보다 훨씬 높으면 분모가 사실상 C 라 속도가 V_max 로 고정됩니다 — 시간당 일정량만 사라지는 0차 소실.

문제는 그 사이, K_m 근처입니다.

고등학생용량을 조금 올렸는데 농도가 불쑥 뛴다

3강에서 1차 소실을 배웠습니다. 농도에 비례해 없어진다고요. 그런데 효소가 포화되면 이 규칙이 깨집니다.

약이 적으면	약이 많으면
효소에 여유가 있음	효소가 가득 찼음
농도에 비례해 처리	더 넣어도 처리 속도가 안 늘어남
1차 소실	0차 소실

고속도로가 막히면 차를 더 넣어도 통과량이 안 늘어납니다 — 대신 정체가 길어져요.

용량 열은 고르게 올라가는데 농도 열은 그렇지 않습니다. 페니토인의 용량 조절이 어려운 이유입니다.

Python 브라우저에서 실행

# Km 근처에서 무슨 일이 일어나나
vmax = 7.0            # mg/kg/day
km   = 5.0            # mg/L
vd_kg = 0.65          # L/kg

print("용량(mg/kg/day)   정상상태 농도(mg/L)   앞 용량 대비")
prev = None
for dose in (2.0, 4.0, 5.0, 6.0, 6.5, 6.9):
    # 정상상태: 투여속도 = Vmax*C/(Km+C)  ->  C = Km*dose/(Vmax-dose)
    if dose >= vmax:
        print(str(dose).rjust(8), "        정상상태가 없다 - 끝없이 오른다")
        continue
    css = km * dose / (vmax - dose)
    ratio = "" if prev is None else str(round(css / prev, 2)) + " 배"
    print(str(dose).rjust(8), str(round(css, 2)).rjust(20), ratio.rjust(14))
    prev = css

print()
print("용량을 6.5 에서 6.9 로 6% 올렸을 뿐인데 농도는 두 배 가까이 뛴다.")
print("Vmax 에 가까워질수록 분모가 0 으로 간다 - 그래서 폭주한다.")

고등학생Michaelis-Menten

효소 반응 속도를 나타내는 식입니다.

속도 = V_max × C ÷ (K_m + C)

조건	식이 되는 모양	소실
C ≪ K_m	속도 ≈ (V_max/K_m) × C	1차 — 농도에 비례
C ≫ K_m	속도 ≈ V_max	0차 — 일정

K_m은 속도가 최대의 절반이 되는 농도입니다 — 포화가 시작되는 지점이에요.

세 가지 자리

약	K_m	치료 농도가	그래서
대부분의 약	—	K_m 보다 훨씬 낮다	선형. 용량 두 배면 농도 두 배
페니토인	약 5 mg/L	K_m 근처	용량을 조금만 올려도 농도가 뛴다
에탄올	약 0.1 g/L	K_m 보다 훨씬 높다	사실상 0차 — 시간당 일정량만

에탄올이 0차라는 사실은 일상에서도 확인됩니다 — 술이 깨는 데 걸리는 시간이 마신 양에 비례하지, 절반씩 줄지 않아요. 1차라면 "두 배 마시면 한 반감기만 더" 여야 하는데 그렇지 않습니다.

직선과 곡선의 차이가 곧 0차와 1차의 차이입니다.

Python 브라우저에서 실행

# 0차와 1차는 사라지는 모양이 다르다
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

t = np.linspace(0, 12, 400)
c0 = 1.6                          # g/L, 혈중 알코올

zero = np.maximum(c0 - 0.15 * t, 0)          # 시간당 0.15 g/L 씩
k = np.log(2) / 4.0
first = c0 * np.exp(-k * t)                  # 반감기 4시간이라 가정하면

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(t, zero, lw=2, label="0차 (에탄올)")
ax.plot(t, first, lw=2, ls="--", label="1차였다면")
ax.axhline(0.3, ls=":", color="grey")
ax.set_xlabel("hours"); ax.set_ylabel("g/L"); ax.legend()
plt.show()

for c in (0.8, 1.6, 3.2):
    print("시작", str(c).rjust(4), "g/L -> 0.3 까지",
          round(max(0.0, (c - 0.3) / 0.15), 1), "시간")
print()
print("두 배 마시면 걸리는 시간도 대략 두 배다.")
print("1차라면 반감기 하나만 더 기다리면 됐을 것이다.")

고등학생Km 근처가 위험한 이유

치료 농도가	결과
K_m보다 훨씬 낮음	안전 — 1차 소실
K_m 근처	용량을 조금 올리면 농도가 불쑥 뜀
K_m보다 훨씬 높음	이미 포화 — 예측 불가

페니토인이 대표적입니다 — 치료 농도가 정확히 K_m 근처입니다.

그래서 페니토인은 용량을 10% 올렸는데 농도가 50% 오르는 일이 생깁니다. 아주 조심스럽게 조절해야 해요.

고등학생에탄올 — 0차 소실의 교과서

술은 거의 완전히 0차로 없어집니다. 시간당 일정한 양이요.

결과	내용
반감기가 없음	일정 시간당 일정량 — 비율이 아님
많이 마실수록 시간이 비례해서 길어짐	두 배 마시면 두 배 오래
"빨리 깨는 법"이 없음	속도가 정해져 있음

1차 소실이면 절반이 되는 시간이 일정하고, 0차면 일정량이 없어지는 시간이 일정합니다.

🤔 확인 문제

어떤 약의 용량을 20% 올렸더니 정상상태 농도가 두 배가 되었습니다. 무엇을 뜻할까요?

🤔 확인 문제

혈중 알코올이 0차로 사라진다는 것은 무엇을 뜻할까요?