3강 / 20강

반감기 — 절반이 되는 시간은 왜 늘 같은가

1차 소실 · C(t) = C₀ e^(−kt) · 반로그 그림에서 직선이 되는 이유

대부분의 약은 남아 있는 양에 비례해서 사라집니다. 많이 있으면 많이 치우고, 적게 있으면 적게 치워요.

사라지는 속도 = k × (지금 남은 양)

이것을 1차 소실(first-order elimination) 이라고 합니다. 치우는 기계의 용량이 아니라 들어오는 양이 속도를 정하는 상황이에요 — 청소부가 한가해서 오는 대로 다 치우는 경우입니다.

이 식을 풀면 지수함수가 나옵니다.

C(t) = C₀ · e^−kt

고등학생절반이 되는 시간은 왜 늘 같은가

이상한 일입니다. 농도가 100에서 50이 되는 데 6시간, 50에서 25가 되는 데도 6시간이에요. 양이 다른데 시간이 같습니다.

비율로 없어지기 때문입니다 — 시간당 몇 %가 사라집니다.

시간	농도	줄어든 양
0	100	—
6h	50	50
12h	25	25
18h	12.5	12.5

줄어드는 양은 계속 작아지는데, 비율은 항상 50%입니다.

왜 절반이 되는 시간이 늘 같은가

C 가 절반이 되는 시간을 t½ 이라 하고 식에 넣어 봅니다.

½ C₀ = C₀ · e^−k·t½
½ = e^−k·t½
ln ½ = −k · t½
t½ = ln 2 / k ≈ 0.693 / k

오른쪽에 C₀ 가 없습니다. 처음 농도가 얼마였든 상관없다는 뜻이에요. 100 에서 50 이 되는 시간과 10 에서 5 가 되는 시간이 같습니다.

이것이 반감기라는 말이 쓸모 있는 이유입니다. 용량과 무관한 약 자체의 성질이니까요.

고등학생1차 소실이란

"소실 속도가 현재 농도에 비례한다"는 뜻입니다.

C(t) = C₀ × e^−kt — k는 소실속도상수

왜 비례하나	내용
효소·수송체가 여유 있음	약이 많으면 많이 처리
포화되지 않음	14강 — 포화하면 이 규칙이 깨짐

대부분의 약이 치료 농도에서 1차 소실을 따릅니다. 그래서 계산이 단순해져요.

시작 농도를 아무리 바꿔도 같은 값이 나옵니다 — 1차 소실의 정의가 바로 이것입니다.

Python 브라우저에서 실행

# 반감기가 정말 농도와 무관한지 - 세 지점에서 재 본다
import numpy as np

half = 5.0                       # h
k = np.log(2) / half

def time_to_half(c_start):
    # c_start 에서 절반이 될 때까지 수치로 따라가 본다
    t, c, dt = 0.0, c_start, 0.001
    while c > c_start / 2:
        c -= k * c * dt
        t += dt
    return t

for c0 in (100.0, 10.0, 1.0, 0.1):
    print("시작 농도", str(c0).rjust(6), "mg/L -> 절반까지",
          round(time_to_half(c0), 3), "h")

print()
print("이론값 ln2/k =", round(np.log(2) / k, 3), "h")
print("시작이 무엇이든 같다. 그래서 반감기는 약의 성질이다.")

반로그로 그리면 직선이 된다

세로축에 로그를 씌우면 지수함수가 직선이 됩니다.

ln C = ln C₀ − k t

기울기가 −k 예요. 그래서 실제 자료에서 k 를 구하는 법은 간단합니다 — 반로그 종이에 점을 찍고 자를 대는 것입니다.

이 직선이 휘어 있으면 1차 소실이 아니라는 뜻입니다. 초기에 가파르면 두 구획(11강), 고농도에서 완만하면 포화(14강)예요. 곡선의 모양이 모형을 고릅니다.

고등학생반로그 그림에서 직선이 되는 이유

지수함수에 로그를 씌우면 1차식이 됩니다.

ln C = ln C₀ − k·t — 기울기가 −k인 직선

세로축	곡선의 모양	쓸모
선형	지수 감소 곡선	Cmax·전체 크기가 잘 보임
로그	직선	기울기에서 k를 읽음 · 꺾임이 보임

11강의 두 구획 꺾임은 반로그 그림에서만 보입니다.

c 값 하나를 크게 바꿔 보세요. 반감기가 얼마나 흔들리는지가 곧 시점 설계의 문제입니다(18강).

Python 브라우저에서 실행

# 실제로 하는 일 - 점 몇 개에서 기울기로 반감기를 뽑는다
import numpy as np

t = np.array([1.0, 2.0, 4.0, 8.0, 12.0])           # h
c = np.array([8.2, 7.1, 5.4, 3.1, 1.8])            # mg/L, 측정값

logc = np.log(c)
slope, intercept = np.polyfit(t, logc, 1)
k = -slope
half = np.log(2) / k
c0 = np.exp(intercept)

print("기울기 =", round(slope, 4), " -> k =", round(k, 4), "1/h")
print("반감기 =", round(half, 2), "h")
print("t=0 으로 되돌린 농도 C0 =", round(c0, 2), "mg/L")
print()

# 맞춘 직선이 자료를 얼마나 설명하나
pred = np.exp(intercept + slope * t)
print("측정 vs 예측")
for ti, ci, pi in zip(t, c, pred):
    print("  t =", str(ti).rjust(4), " 측정", str(round(ci, 2)).rjust(5),
          " 예측", str(round(pi, 2)).rjust(5))

고등학생네다섯 반감기

반감기 수	남은 비율
1	50%
2	25%
3	12.5%
4	6.25%
5	3.1%

4~5 반감기면 거의 다 사라집니다 — 실무의 기준입니다.

그리고 12강에서 보게 되는데, 쌓이는 데도 같은 시간이 걸려요. 오르는 것과 내리는 것이 같은 지수 과정이기 때문입니다.

🤔 확인 문제

어떤 약의 반감기가 4시간입니다. 12시간 뒤 몸에 남아 있는 비율은?

🤔 확인 문제

혈중농도를 반로그 그림에 찍었더니 초기 구간이 뒤쪽보다 가파른 곡선이었습니다. 무엇을 뜻할까요?