Lesson 17 of 20

클론 확장 — 하나가 수십만이 되는 산수

제13장 「스무 번 반복하면 백만 개가 된다」

브레이크가 떨어졌습니다. 이제 분열합니다.

한 번의 분열에 약 8~12시간
1개 -> 2개 -> 4개 -> 8개 ...

소설의 한 줄이 이 강의 전부입니다.

"두 배씩 늘어나는 것은 처음에는 느려 보인다. 하나가 둘이 되고 둘이 넷이 되는 동안에는 아무 일도 아닌 것 같다.

스무 번 반복하면 백만 개가 된다.

열 시간에 한 번씩 스무 번이면 여드레다."

왜 처음에 느려 보이는가

지수 성장의 성질입니다. 절반의 일이 마지막 한 번에 일어납니다.

분열 횟수	세포 수	전체(2²⁰) 대비
10	1,024	0.1 %
15	32,768	3 %
18	262,144	25 %
19	524,288	50 %
20	1,048,576	100 %

스무 번 중 열 번을 해도 0.1% 다

그래서 백신을 맞고 며칠 동안 아무 일도 안 일어나는 것처럼 보입니다. 실제로는 계속 늘고 있는데, 눈에 띄는 것은 마지막 며칠뿐입니다.

면역 반응이 '느리다' 고 느껴지는 이유의 절반이 이 산수입니다. 나머지 절반은 9강의 동역학적 교정입니다.

High school절반은 마지막 한 번에 생긴다

지수 성장의 이상한 성질이 있습니다.

분열 횟수	세포 수	최종 대비
10번 (절반)	1,024	0.1%
19번	52만	50%
20번	105만	100%

10번을 해도 0.1% 입니다

절반의 일(10번)을 했는데 결과는 천분의 일이에요. 그리고 마지막 한 번에 나머지 절반이 생깁니다.

그래서 백신 맞고 며칠 동안 아무 일도 안 일어나는 것처럼 보입니다. 실제로는 계속 늘고 있는데 눈에 안 띌 뿐이에요.

코로나 확산 그래프가 '갑자기' 치솟아 보이는 것과 같은 산수입니다

왼쪽과 오른쪽은 같은 자료입니다. 지수 성장은 로그 눈금에서 봐야 제대로 보입니다.

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# 지수 성장의 산수 -- 그리고 시작 개수가 왜 별로 안 중요한가.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

T_DIV = 10.0   # 분열 주기 (시간)

def n_cells(n0, hours):
    return n0*2**(hours/T_DIV)

fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(10, 3.2))
hrs = np.linspace(0, 240, 400)
for n0, c in ((1,"tab:red"), (10,"tab:orange"), (100,"tab:green")):
    ax[0].plot(hrs/24, n_cells(n0, hrs), color=c, lw=2, label=f"start {n0}")
    ax[1].semilogy(hrs/24, n_cells(n0, hrs), color=c, lw=2)
ax[0].set_ylim(0, 1e6); ax[0].set_title("linear scale", fontsize=9)
ax[1].set_title("log scale", fontsize=9)
for a in ax: a.set_xlabel("days"); a.legend(fontsize=7)
plt.tight_layout(); plt.show()

print(f'{"경과":>8}{"분열 횟수":>10}{"세포 수":>14}{"최종 대비":>12}')
for d in (1, 2, 3, 4, 5, 6, 8):
    h = d*24; n = n_cells(1, h)
    print(f"{d:>6}일{h/T_DIV:>10.1f}{n:>14,.0f}{n/2**20*100:>11.2f}%")
print()
print("왼쪽 그림에서는 나흘까지 바닥에 붙어 있는 것처럼 보입니다.")
print("오른쪽 로그 그림에서는 처음부터 일정하게 오르고 있습니다.")
print("같은 자료인데 눈금만 바꿨습니다.")
print()

# 시작 개수의 차이는 몇 시간이면 따라잡힌다
print("시작 개수가 100배 달라도:")
gap = np.log2(100)*T_DIV
print(f"  따라잡는 데 걸리는 시간 = log2(100) x {T_DIV:.0f}h = {gap:.0f}시간 = {gap/24:.1f}일")
print()
print("2강에서 '하나라도 있으면 된다' 고 한 이유입니다.")

High school위 코드가 방금 무슨 일을 했나요

같은 자료를 두 가지 눈금으로 그렸습니다.

왼쪽 (보통 눈금)	오른쪽 (로그 눈금)
나흘까지 바닥에 붙어 있다	처음부터 일정하게 오른다
갑자기 치솟는 것처럼 보인다	직선이다

같은 자료입니다. 눈금만 바꿨어요

지수 성장은 로그 눈금에서 봐야 제대로 보입니다. 거기서는 직선이고, 기울기가 곧 성장 속도 예요.

뉴스에서 감염자 수 그래프를 볼 때도 어느 눈금인지 확인하세요. 같은 자료가 완전히 다르게 보입니다.

눈금을 바꾸면 인상이 바뀝니다 — 자료는 그대로인데

멈추는 장치도 있어야 한다

스무 번이 아니라 서른 번 분열하면 10억 개가 됩니다. 그러면 몸이 T세포로 가득 찹니다. 멈춰야 합니다.

멈추는 장치	어떻게
항원이 사라진다	종양이 줄면 신호 1 이 끊긴다 → 분열 신호가 끊긴다
IL-2 가 준다	자가분비가 끊기면 브레이크가 다시 밟힌다 (16강)
CTLA-4 · PD-1	활성화 자체가 브레이크를 유도한다 (10강)
수축기	확장이 끝나면 90~95% 가 죽는다. 남는 것이 기억세포

확장의 대부분은 버려진다

마지막 줄이 중요합니다. 수십만 개를 만들어 놓고 대부분 죽입니다. 살아남은 5~10% 가 기억 T세포가 되어 오래 남습니다.

그래서 두 번째는 빠릅니다. 다음에 같은 항원을 만나면 1개에서 시작하지 않고 이미 수만 개가 대기 중입니다. 부스터 접종이 통하는 이유입니다.

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클론 확장 뒤 수축기에 활성화된 T세포의 90~95%가 죽는 것의 의미는?