Lesson 8 of 20

RMSD — 두 구조가 얼마나 다른가

제7장 「RMSD 0.41 옹스트롬」 / 활성화 루프 3.87 Å

구조 두 개가 생겼습니다. 야생형과 변이형. 이제 얼마나 다른가를 숫자 하나로 말해야 합니다.

그 숫자가 RMSD(Root Mean Square Deviation) 입니다. 이름을 뒤에서부터 읽으면 그대로 계산식입니다.

Deviation(차이) → Square(제곱) → Mean(평균) → Root(제곱근)

대응하는 원자 쌍이 N 개 있을 때

RMSD = √( Σᵢ |aᵢ − bᵢ|² / N )

aᵢ 는 첫 구조의 i 번째 원자 위치, bᵢ 는 둘째 구조의 같은 원자 위치입니다. 단위는 길이 그대로 — 이 이야기에서는 옹스트롬(Å).

그냥 평균 어긋난 거리입니다. 제곱을 거치기 때문에 크게 어긋난 원자가 훨씬 크게 반영됩니다.

High school두 그림이 얼마나 다른지 숫자 하나로

같은 사람 사진 두 장이 있습니다. "얼마나 다른가" 를 숫자 하나로 말하려면?

얼굴 위의 점 스무 개(눈·코·입 끝…)를 정하고, 같은 점끼리 얼마나 떨어졌는지 재서 평균 내면 됩니다.

RMSD 는 그 평균을 내는 방식입니다

글자	뜻	순서
D — Deviation	차이를 잰다	①
S — Square	제곱한다	②
M — Mean	평균 낸다	③
R — Root	제곱근 씌운다	④

이름을 뒤에서부터 읽으면 계산 순서 그대로입니다. 제곱을 하는 이유는 크게 어긋난 점을 크게 세기 위해서입니다.

겹치기(superposition)를 먼저 해야 한다 — 여기가 함정

두 구조가 공간의 다른 자리에 있으면 RMSD 는 아무 뜻이 없습니다. 같은 구조라도 1미터 떨어뜨려 놓으면 RMSD 는 10¹⁰ Å 이 나옵니다.

그래서 반드시 먼저 겹칩니다. 회전하고 평행이동해서 RMSD 가 가장 작아지는 자세를 찾은 다음, 그때의 값을 씁니다. 이야기의 Superimposer 가 하는 일이 정확히 이것입니다.

sup = Superimposer()
sup.set_atoms(wt_atoms, mut_atoms)   # <- 최적 회전·이동을 찾는다
sup.apply(mut_struct.get_atoms())    # <- 실제로 겹친다
print(sup.rms)                       # <- 그제야 의미 있는 숫자

"어느 원자들을 기준으로 겹쳤나"가 답을 바꿉니다. 이게 이 강의의 핵심입니다.

High school겹치기를 먼저 안 하면 아무 뜻이 없다

같은 사진 두 장인데 한 장을 1미터 옆에 놓고 점 사이 거리를 재면? 전부 1미터씩 떨어져 있다고 나옵니다. 사진은 똑같은데요.

그래서 반드시 먼저 겹칩니다

한 장을 돌리고 밀어서 다른 장에 가장 잘 포개지는 자리를 찾습니다. 그 뒤에 남은 차이를 재는 겁니다.

OHP 필름 두 장을 겹쳐 보는 것과 똑같습니다. 잘 포개 놓고, 그래도 안 맞는 부분을 보는 거죠.

"어느 부분을 기준으로 포갰나" 가 답을 바꿉니다 — 이 강의 핵심입니다

얼굴 전체로 포개면 눈만 어긋나 보이고, 눈으로 포개면 턱이 어긋나 보입니다. 둘 다 맞는 답이지만 숫자가 완전히 다릅니다.

Cα 만 쓰는 이유

wt_atoms = [a for a in wt_struct.get_atoms() if a.name == "CA"]

아미노산 하나에는 원자가 십여 개 있습니다. 그중 Cα(알파 탄소)는 사슬의 등뼈에 해당하는 원자로, 아미노산마다 정확히 하나씩 있습니다.

Cα 만 쓸 때

잔기당 원자 하나 — 사슬이 어디로 지나가는가만 봅니다. 곁사슬이 흔들리는 잡음에 휘둘리지 않습니다. 구조 비교의 표준입니다.

모든 원자를 쓸 때

곁사슬 방향까지 봅니다. 값이 항상 더 크게 나옵니다. 같은 두 구조라도 all-atom RMSD 와 Cα RMSD 는 다릅니다 — 섞어 비교하면 안 됩니다.

전체 RMSD 는 작고 루프만 큽니다. 이야기의 0.41 Å 과 3.87 Å 이 정확히 이 모양입니다.

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# RMSD 를 손으로 계산하고, '겹치기' 가 왜 먼저인지 확인합니다.
import numpy as np

rng = np.random.default_rng(387)
n = 355
A = np.cumsum(rng.normal(0, 1.2, (n, 3)), axis=0)     # 사슬 하나 (Ca 좌표 흉내)

B = A.copy()
loop = slice(810-582, 836-582)                        # 활성화 루프 25개 잔기만
B[loop] += rng.normal(0, 3.0, B[loop].shape)          # 여기만 크게 흔든다
B += rng.normal(0, 0.25, B.shape)                     # 나머지는 조금씩

def rmsd(P, Q):
    return float(np.sqrt(((P - Q)**2).sum(axis=1).mean()))

def superpose(P, Q, idx=None):
    # Kabsch: idx 로 지정한 원자들을 기준으로 Q 를 P 에 맞춘다
    i = slice(None) if idx is None else idx
    Pc, Qc = P[i].mean(0), Q[i].mean(0)
    H = (Q[i] - Qc).T @ (P[i] - Pc)
    U, S, Vt = np.linalg.svd(H)
    d = np.sign(np.linalg.det(Vt.T @ U.T))
    R = Vt.T @ np.diag([1, 1, d]) @ U.T
    return (Q - Qc) @ R.T + Pc

# 1) 겹치지 않고 -- 일부러 통째로 옮겨 놓습니다
B_far = B + np.array([50.0, 0, 0])
print(f"겹치기 전            RMSD = {rmsd(A, B_far):8.2f} A   (뜻 없음)")

# 2) 전체를 기준으로 겹친 뒤
B_all = superpose(A, B_far)
print(f"전체 기준으로 겹친 뒤 RMSD = {rmsd(A, B_all):8.2f} A")
print(f"  그중 활성화 루프만        = {rmsd(A[loop], B_all[loop]):8.2f} A   <- 여기만 크다")
print(f"  루프를 뺀 나머지          = {rmsd(np.delete(A,np.r_[loop],0), np.delete(B_all,np.r_[loop],0)):8.2f} A")
print()

# 3) 이야기의 두 숫자가 같은 겹치기에서 나올 수 있는지 따져 봅니다.
#    RMSD^2 은 제곱의 평균이므로 구간별로 그냥 더해집니다.
n_tot, n_loop, r_loop = 355, 26, 3.87
print("이야기의 값:  전체 0.41 A  /  활성화 루프 3.87 A")
print(f"루프 {n_loop}개만 3.87 A 어긋나고 나머지가 정확히 0 이어도")
floor = np.sqrt(n_loop*r_loop**2/n_tot)
print(f"  전체 RMSD >= {floor:.2f} A  <- 이보다 작아질 수가 없습니다")
print()
for d in (0.0, 0.2, 0.41):
    tot = np.sqrt((n_loop*r_loop**2 + (n_tot-n_loop)*d**2)/n_tot)
    print(f"  나머지가 {d:.2f} A 이면 전체는 {tot:.2f} A")
print()
print("그러니 0.41 과 3.87 은 같은 겹치기에서 나온 두 값이 아닙니다.")

High school위 코드가 방금 무슨 일을 했나요

사슬 하나를 만들고, 그중 25개 구간만 크게 흔든 뒤, 겹치기를 하고 RMSD 를 세 가지 방법으로 쟀습니다.

재는 방법	결과	왜
겹치기 전	50 Å 넘음	일부러 옆에 옮겨 놨으니까 — 뜻 없음
겹치고 전체	작음	대부분이 안 움직였으니까
겹치고 루프만	큼	여기만 흔들었으니까

여기가 이 강의의 요점입니다

같은 두 구조인데 어디를 재느냐에 따라 숫자가 열 배 차이가 납니다. 이야기의 0.41 Å 과 3.87 Å 이 정확히 이 두 줄입니다.

이야기의 두 숫자를 다시 읽는다

전체 RMSD:        0.41 A    (전체 구조는 거의 동일)
활성화 루프 RMSD:  3.87 A    (<- 이 부분만 완전히 다름)

📏

0.41 Å 은 얼마나 작나

탄소–탄소 결합 길이의 1/4. 같은 단백질을 두 번 예측해도 이만큼은 나옵니다. 차이가 없다는 뜻입니다

🚩

3.87 Å 은 얼마나 큰가

결합 두세 개 길이. 잔기 25개가 통째로 다른 쪽을 보고 있다는 뜻입니다

평균이 거짓말하는 방식이 여기 다 들어 있습니다. 355개 잔기 중 25개만 크게 움직였습니다. 제곱 평균을 355로 나누면 그 25개가 상당히 묻힙니다.

전체 RMSD 는 "어디가" 를 절대 알려 주지 않는다

그런데 이 두 숫자를 산수로 끝까지 따져 보면 한 가지가 더 나옵니다. RMSD 는 제곱의 평균이라 구간별로 그냥 더해집니다.

RMSD²_전체 = (n_루프·RMSD²_루프 + n_나머지·RMSD²_나머지) ÷ n_전체

루프 26잔기가 3.87 Å 어긋났다면, 나머지 329잔기가 정확히 0 이어도

√(26 × 3.87² ÷ 355) = 1.05 Å

전체 RMSD 가 이보다 작아질 수학적 방법이 없습니다.

그래서 실제 분석에서는 늘 두 가지를 함께 봅니다 — 구간을 나눠서 각각 재거나, 잔기마다 따로 재서 그래프로 그리거나. 후자를 RMSF 라고 부르고 /dock 강의에서 다룹니다.

High school전교 평균이 87점이라는 말

전교 평균이 87점입니다. 우리 반이 잘한 걸까요?

알 수 없습니다. 한 반이 40점이고 나머지 열 반이 92점이어도 전교 평균은 87점 근처가 나옵니다.

RMSD 0.41 Å 이 정확히 이 상황입니다

대상	잔기 수	어긋난 정도
전체	355개	평균 0.41 Å
안 움직인 부분	330개	거의 0
활성화 루프	25개	3.87 Å

25개가 크게 어긋나도 355로 나누면 상당히 묻힙니다.

평균은 '얼마나' 는 알려 주지만 '어디가' 는 지웁니다

그런데 끝까지 계산해 보면 한 가지가 더 나옵니다

제곱해서 더한 다음 나누는 것이니, 거꾸로도 계산할 수 있습니다. 루프 26개가 3.87 만큼 어긋났다면 나머지 329개가 0 이어도

√(26 × 3.87² ÷ 355) = 1.05

전체가 1.05 보다 작아질 수가 없습니다. 그런데 이야기는 0.41 이라고 적었어요.

틀린 게 아닙니다. 두 숫자를 잰 방법이 달랐던 것입니다 — 3.87 은 루프끼리 따로 포개 놓고 잰 값이에요. (다음 셀에서 이어집니다)

숫자 두 개가 나란히 있으면, 같은 방법으로 잰 것인지 먼저 확인하세요

그래서 이야기의 두 숫자는 같은 겹치기에서 나온 것이 아니다

0.41 Å 과 3.87 Å 은 함께 성립할 수 없습니다. 위 계산이 그것을 보입니다.

틀렸다는 뜻이 아닙니다. 두 값이 서로 다른 방식으로 계산되었다는 뜻입니다. 이야기의 코드를 다시 보면 실제로 그렇게 되어 있습니다.

sup.set_atoms(wt_atoms, mut_atoms)     # (1) 전체로 겹친다 -> 0.41
...
sup.set_atoms(loop_wt, loop_mut)       # (2) 루프로 다시 겹친다 -> 3.87

두 번째 줄이 set_atoms 를 다시 부릅니다. 즉 3.87 Å 은 "전체로 겹친 뒤 루프 구간을 잰 값" 이 아니라 "루프끼리 따로 겹친 뒤에도 남은 차이" 입니다. 완전히 다른 물음입니다.

후자는 루프 자체의 모양이 달라졌다는 뜻이고 — 이 이야기가 하려는 주장으로는 오히려 더 강한 주장입니다. 위치가 옮겨졌을 뿐 아니라 생김새가 바뀌었다는 것이니까요.

이게 이 강의 전체에서 가장 실용적인 교훈입니다. 논문에서 RMSD 두 개를 나란히 보면 늘 물으세요 — "이 둘은 같은 겹치기에서 나온 값인가?" 산수로 두 줄만 해 보면 바로 드러납니다.

🤔 Check yourself

전체 RMSD 0.41 Å 와 활성화 루프 RMSD 3.87 Å 를 산수로 따져 보면 무엇을 알 수 있나요?

Answer RMSD² 는 구간별로 더해집니다. √(26 × 3.87² ÷ 355) = 1.05 Å 이 바닥값이라 0.41 Å 은 같은 겹치기에서 나올 수 없습니다.
실제로 이야기의 코드는 set_atoms 를 두 번 부릅니다 — 3.87 Å 은 루프끼리 따로 겹친 뒤 남은 차이입니다. 틀린 게 아니라 다른 물음에 대한 답입니다.

🤔 Check yourself

논문 A 는 'RMSD 1.2 Å', 논문 B 는 'RMSD 2.8 Å' 이라고 적었습니다. B 의 구조가 더 많이 달라졌다고 결론 내려도 될까요?