6강 / 20강

평균이 거짓말할 때 — 오른쪽 꼬리

8.1% 인가 4.9% 인가

5강의 분포를 다시 보면 봉우리가 왼쪽에 몰려 있고 오른쪽 꼬리가 길게 늘어져 있습니다. 대부분의 슬라이드는 침윤률이 낮고, 몇 장이 아주 높아요.

이런 모양에서는 평균과 중앙값이 크게 갈립니다. 그리고 논문 초록에 흔히 적히는 문장 — "이 암종의 평균 TIL 은 …" — 이 실제로는 아무도 대표하지 않는 값이 되기 쉽습니다.

고등학생8.1% 인가 4.9% 인가

같은 자료에서 두 값이 나온다.

통계량	값
평균	8.1%
중앙값	4.9%

거의 두 배 차이다. 어느 것이 맞나?

둘 다 맞다 — 다른 것을 잰다

	재는 것
평균	총합 ÷ 개수
중앙값	가운데 있는 값

분포가 치우쳐 있으면 두 값이 갈라진다 — 그리고 그 차이 자체가 정보다

평균 8.12% · 중앙값 4.85%. 슬라이드의 3분의 2가 평균 아래입니다.

Python 브라우저에서 실행

import til

d = til.slides()
print(f"전체 평균   {d.til_pct.mean():6.2f}%")
print(f"전체 중앙값 {d.til_pct.median():6.2f}%")
print(f"차이        {d.til_pct.mean() - d.til_pct.median():6.2f}%p"
      f"   (평균이 중앙값의 {d.til_pct.mean()/d.til_pct.median():.2f}배)")
print()
아래 = (d.til_pct < d.til_pct.mean()).mean()
print(f"평균보다 낮은 슬라이드가 전체의 {100*아래:.1f}% 입니다.")
print("'평균' 이 대표값이라면 절반쯤이 그 아래여야 하는데, 훨씬 많습니다.")

왜도(skew)가 0이면 좌우 대칭, 클수록 오른쪽 꼬리가 깁니다.

Python 브라우저에서 실행

import til
from scipy import stats

d = til.slides()
표 = d.groupby("tumor").til_pct.agg(
        장수="count", 평균="mean", 중앙값="median", 표준편차="std",
        왜도=lambda x: stats.skew(x)).round(2)
표["평균÷중앙값"] = (표.평균 / 표.중앙값.replace(0, float("nan"))).round(2)
print(표.sort_values("왜도", ascending=False).to_string())
print()
print("13개 암종 모두 왜도가 0보다 큽니다 — 예외 없이 오른쪽으로 치우쳐 있어요.")

고등학생왜 오른쪽 꼬리가 생기나

이유	내용
아래 한계가 있음	0% 밑으로는 못 감
위는 열려 있음	이론상 100%까지
일부 종양이 크게 다름	MSI-H · 염증형

이런 분포가 아주 흔하다

소득, 도시 인구, 논문 인용 수, 유전자 발현 — 0 에서 시작하고 위가 열린 것은 대개 오른쪽 꼬리를 갖는다.

그리고 평균이 왜곡된다

꼬리의 극단값 몇 개가 평균을 끌어올린다. 그래서 "평균적인 사람" 보다 평균이 높아진다.

0 에서 시작하고 위가 열린 값은 거의 언제나 오른쪽으로 치우친다

고등학생어느 것을 보고할까

목적	맞는 통계량
전형적인 값	중앙값
총량과 관련	평균
분포 전체	사분위수 · 히스토그램

가장 좋은 답 — 둘 다 보고한다

"평균 8.1%, 중앙값 4.9%" 라고 쓰면 독자가 분포가 치우쳤다 는 것을 바로 안다.

하나만 쓰면 그 정보가 사라진다.

그리고 검정 방법도 달라진다

치우친 분포에서는 t검정 대신 순위 기반 검정(윌콕슨 등)이 안전하다.

두 통계량을 함께 적으면 분포의 모양까지 전달된다

같은 자료, 다른 눈금. 로그를 씌우면 다른 이야기가 보입니다.

Python 브라우저에서 실행

import til
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

d = til.slides()
fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 3.8))

ax[0].hist(d.til_pct.clip(0, 45), bins=45, color="#3b82f6")
ax[0].axvline(d.til_pct.median(), color="crimson", lw=1.6)
ax[0].axvline(d.til_pct.mean(), color="orange", lw=1.6)
ax[0].set_xlabel("TIL %"); ax[0].set_title("linear")

ax[1].hist(np.log10(d.til_pct.clip(lower=0.01)), bins=45, color="#10b981")
ax[1].set_xlabel("log10 TIL %"); ax[1].set_title("log")
plt.tight_layout()

print("빨강 = 중앙값, 주황 = 평균. 왼쪽에서는 둘이 멀리 떨어져 있습니다.")
print("오른쪽 로그 눈금에서는 봉우리가 가운데로 오고 좌우가 제법 대칭입니다.")

로그를 씌웠더니 대칭에 가까워졌다는 것은 무슨 뜻일까요?

침윤률이 덧셈이 아니라 곱셈으로 흩어져 있다는 뜻입니다. "이 슬라이드는 평균보다 3%p 높다" 보다 "평균의 2배다" 쪽이 자연스러운 자료라는 것이죠.

그러니 두 무리를 견줄 때도 "차이가 3%p" 보다 "1.8배" 가 더 안정적인 표현이 됩니다. 이 감각은 15강에서 자를 자리를 정할 때 다시 나옵니다.

고등학생로그 변환이라는 선택

오른쪽 꼬리를 대칭에 가깝게 만드는 방법이 로그 변환이다.

장점	단점
분포가 대칭에 가까워짐	0 을 다룰 수 없음
t검정 등을 쓸 수 있음	해석이 어려워짐
극단값의 영향 감소	—

0 이 있으면 어떻게 하나

침윤률이 0%인 슬라이드가 있을 수 있다. 그러면 log(0) 이 정의되지 않는다.

대응	문제
log(x + 상수)	상수 선택이 임의적
0 을 제외	정보 손실 · 편향
변환 안 함 · 순위 검정	가장 안전

변환은 문제를 옮길 뿐 없애지 않는다 — 옮긴 곳이 다루기 쉬운지 봐야 한다

🤔 확인 문제

침윤률 분포에서 평균이 중앙값보다 큰 까닭은?

🤔 확인 문제

이런 분포를 다룰 때 이 강의가 권하지 않는 것은?