13강 / 20강

생존곡선 — 계단을 손으로 그린다

중도절단을 다루는 법

이제 가장 궁금한 것을 물을 차례입니다. 침윤이 많은 환자가 더 오래 사는가?

먼저 생존 자료의 특이한 점을 알아야 합니다. 임상 자료의 각 환자에게는 두 값이 있어요 —

OS_time — 관찰한 기간 (일)
OS — 그 끝에 무슨 일이 있었나. 1이면 사망, 0이면 아직 살아 있음

OS = 0 인 환자를 중도절단(censored) 이라고 합니다. "1,200일까지는 살아 있었고 그 뒤는 모른다" 는 뜻이에요. 이 사람들을 어떻게 세느냐가 생존분석의 전부라고 해도 지나치지 않습니다.

고등학생계단을 손으로 그린다

생존 분석의 기본 그림이 카플란-마이어 곡선 이다. 계단 모양으로 내려간다.

왜 계단인가

사건(사망)이 일어날 때마다 한 칸씩 내려간다. 사건이 없는 동안은 평평 하다.

시점	일어나는 일
사건 발생	생존율이 떨어짐 — 계단
사건 없음	평평

곡선의 모양이 사건이 언제 일어났는지를 그대로 보여 준다

계산은 놀랄 만큼 단순합니다. 죽음이 일어난 시각 t 마다 —

S(t) = S(이전) × (1 − 그 시각의 사망자 ÷ 그때 남아 있던 사람)

중도절단된 사람은 곡선을 내리지 않고, 그 시각 이후로는 분모에서 조용히 빠집니다.

고등학생중도절단을 다루는 법

생존 분석이 어려운 이유는 중도절단 때문이다.

중도절단이란

연구가 끝날 때까지 사건이 안 일어난 환자들. 또는 추적이 끊긴 환자들.

이 환자에 대해 아는 것	모르는 것
3년까지는 살아 있었다	그 뒤에 어떻게 됐나

버리면 안 된다

이 환자도 3년까지의 정보 는 준다. 버리면 그 정보를 잃고, 편향 도 생긴다.

오래 산 환자가 중도절단되기 쉬우니 버리면 생존율이 낮게 나온다.

불완전한 정보도 정보다 — 버리면 편향이 생긴다

죽음이 난 시각마다 계단 하나. 이 함수가 til.km_curve() 와 같은 것입니다.

Python 브라우저에서 실행

import til
import numpy as np

def km(time, event):
    """카플란-마이어 — 열 줄이면 됩니다."""
    s, out = 1.0, [(0.0, 1.0)]
    for t in np.sort(np.unique(time[event == 1])):     # 죽음이 난 시각마다
        n = (time >= t).sum()                          # 그때까지 남아 있던 사람
        d = ((time == t) & (event == 1)).sum()         # 그 시각의 사망자
        s *= 1 - d / n
        out.append((float(t), float(s)))
    return out

p = til.patients()
g = p[(p.tumor == "SKCM")].dropna(subset=["OS", "OS_time"])
곡선 = km(g.OS_time.values, g.OS.values)

print(f"흑색종 환자 {len(g)}명 · 사망 {int(g.OS.sum())}명 · 중도절단 {int((g.OS==0).sum())}명")
print(f"곡선의 계단 수 {len(곡선)-1}개")
print()
for t, s in 곡선[::40][:8]:
    print(f"  {t:>7.0f}일  생존 {100*s:5.1f}%")

흑색종에서 두 곡선이 눈에 띄게 갈립니다 — 3,564일 대 1,618일.

Python 브라우저에서 실행

import til
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

p = til.patients()
g = p[p.tumor == "SKCM"].dropna(subset=["OS", "OS_time"])
hi, lo = til.split(g)          # 침윤률 중앙값에서 둘로

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 4.4))
for 무리, 색, 이름 in ((hi, "#ef4444", "high TIL"), (lo, "#3b82f6", "low TIL")):
    c = np.array(til.km_curve(무리.OS_time.values, 무리.OS.values))
    ax.step(c[:, 0], c[:, 1], where="post", color=색, lw=2, label=f"{이름} (n={len(무리)})")
ax.axhline(0.5, color="gray", ls="--", lw=1)
ax.set_xlim(0, 6000); ax.set_ylim(0, 1)
ax.set_xlabel("days"); ax.set_ylabel("survival"); ax.legend()
plt.tight_layout()

print(f"침윤 높은 쪽 생존 중앙값 {til.km_median(hi.OS_time.values, hi.OS.values):,.0f}일")
print(f"침윤 낮은 쪽 생존 중앙값 {til.km_median(lo.OS_time.values, lo.OS.values):,.0f}일")

고등학생카플란-마이어의 발상

중도절단을 다루는 방법이 우아하다.

전체 생존율 = 각 시점의 조건부 생존율을 곱한 것

단계	하는 일
1	사건이 일어난 시점마다
2	그 시점에 위험에 노출된 사람 을 셈
3	(1 − 사망자/위험집단) 을 계산
4	그때까지의 값에 곱함

중도절단된 사람은 그 시점까지만 분모에 있다

3년에 중도절단되면 3년까지는 위험집단 에 있고 그 뒤로는 빠진다.

가진 정보만큼 정확히 쓰는 것이다.

조건부 확률을 곱해 나가는 것이 불완전한 관측을 다루는 방법이다

흑색종의 결과는 인상적입니다. 침윤이 많은 쪽의 생존 중앙값이 3,564일(9.8년), 적은 쪽이 1,618일(4.4년) — 두 배가 넘습니다.

하지만 잠깐. 그림이 갈려 보인다고 해서 정말 갈린 걸까요? 사람 눈은 없는 패턴도 잘 만들어 냅니다. 이 차이가 우연일 확률을 숫자로 만들어야 합니다. 그것이 14강입니다.

고등학생곡선을 읽을 때 확인할 것

확인	왜
위험 집단 수	오른쪽 끝은 몇 명 안 남았을 수 있음
중도절단 표시	얼마나 많이 끊겼나
추적 기간	1년 자료로 5년을 말할 수 없음
곡선의 교차	교차하면 로그순위 검정이 부적절

첫 줄이 가장 자주 놓친다

곡선 오른쪽 끝이 평평하면 "안정적" 으로 보인다. 그런데 그 구간에 3명만 남아 있으면 그 평평함은 정보가 아니다.

좋은 논문은 곡선 아래에 시점별 남은 인원 을 적는다. 그 줄이 없는 그림은 믿지 않는 것이 좋다.

생존곡선의 오른쪽 끝은 언제나 가장 약한 부분이다

🤔 확인 문제

중도절단(OS = 0)된 환자를 분석에서 빼면 안 되는 까닭은?

🤔 확인 문제

카플란-마이어 곡선이 내려가는 순간은?