Lesson 9 of 20

다양성을 숫자 하나로 — Shannon · 균등도 · Gini · D50

네 지표가 언제 같은 말을 하고 언제 어긋나나

레퍼토리 하나에 클론이 수천 개 있습니다. 그것을 숫자 하나로 요약하려면?

널리 쓰이는 자가 넷입니다. 생태학에서 빌려 온 것들이에요 — "이 숲에 나무 종이 몇 가지고 얼마나 고르게 있나" 와 같은 물음이니까요.

지표	재는 것	클수록
클론 수	몇 종류인가	다양하다 (그런데 세포 수에 휘둘린다)
Shannon 엔트로피	종류 + 고르기	다양하다
균등도	Shannon ÷ 가능한 최대	고르다 (1이면 완전히 고르다)
Gini	소수가 독차지한 정도	쏠렸다 (0이면 완전히 고르다)
D50	세포 절반을 채우는 클론 수	고르다

High school숲을 숫자 하나로 나타내려면

3부 읽기 가 시작됩니다. 서랍 안의 몽타주 수천 장을 숫자 하나로 요약하는 방법을 배웁니다.

왜 요약이 필요한가

클론이 5,000개 있는 표를 그대로 놓고는 다른 사람과 견줄 수가 없습니다. 숫자 하나로 줄여야 "A 가 B 보다 다양하다" 같은 말을 할 수 있어요.

이 방법들은 생태학에서 빌려 왔습니다

숲의 다양성을 재는 물음과 구조가 완전히 같기 때문이에요.

숲	레퍼토리
나무 종	클론 (같은 수용체를 가진 세포 무리)
그 종의 나무 그루 수	그 클론의 세포 수
"이 숲은 다양한가"	"이 사람의 면역은 다양한가"

네 가지 자를 상상해 봅시다

숲 두 개를 비교합니다. 둘 다 나무가 100그루예요.

숲 A — 소나무 100그루
숲 B — 소나무 25 · 참나무 25 · 단풍 25 · 벚나무 25
숲 C — 소나무 97 · 참나무 1 · 단풍 1 · 벚나무 1

자	재는 것	A	B	C
종 수	몇 종류인가	1	4	4
Shannon	종류 + 고르기를 함께	0	높음	낮음
균등도	얼마나 고른가 (0~1)	—	1.0	낮음
Gini	얼마나 쏠렸나 (0~1)	—	0	높음

B 와 C 는 종 수가 똑같이 4 입니다. 그런데 누가 봐도 B 가 더 다양하죠. 종 수만 세면 이 차이를 못 잡습니다. 그래서 자가 여러 개 필요합니다.

자마다 보는 것이 다르다 — 하나만 보면 속는다

Shannon 은 클론 수에 크게 휘둘리고, 균등도와 Gini 는 그렇지 않습니다.

Python Runs in your browser

# 네 지표를 네 표본에 모두 대 본다
import tcr
import pandas as pd

표 = pd.DataFrame({s: tcr.diversity(s) for s in tcr.SAMPLES}).T
표.index = [tcr.KO[s] for s in tcr.SAMPLES]
print(표.to_string())
print()
print("균등도가 넷 다 0.99 를 넘습니다 - 거의 완전히 고릅니다.")
print("건강한 사람의 혈액 T세포는 이런 모양이에요.")

High school균등도 0.99 가 뜻하는 것

위 표에서 네 표본 모두 균등도가 0.99 를 넘습니다. 숲으로 치면 거의 모든 나무가 다른 종인 셈이에요. 현실 숲에서는 있을 수 없는 상태입니다.

왜 이렇게 고른가

6강을 떠올려 보세요. 가능한 수용체가 5조 가지인데 우리가 본 세포는 5,000개입니다.

5조 개짜리 뽑기 상자에서 5,000번 뽑으면, 같은 공이 두 번 나올 일이 거의 없죠. 그래서 거의 모든 세포가 서로 다른 클론이 됩니다.

건강한 사람의 혈액 T세포 = 거의 완전히 고른 분포

그러면 안 고른 경우는 언제인가

이게 중요합니다. 균등도가 떨어지면 무언가 일이 벌어진 겁니다.

급성 감염 — 특정 클론이 폭발적으로 불어난다
백혈병·림프종 — 암이 된 T세포 클론 하나가 전체를 뒤덮는다
노화 — 오래 산 클론들이 자리를 많이 차지한다
종양 안 — 종양 항원에 반응한 클론이 몰려 있다

그래서 이 지표는 실제 병원에서 쓰입니다. 특히 림프종 진단에서요 — 한 클론이 비정상적으로 크면 "이건 암이다" 라는 근거가 됩니다.

거꾸로 생각하는 훈련

지표를 배울 때는 늘 이렇게 물으세요 —

이 값이 정상 범위를 벗어나면 무슨 일이 일어난 것인가?

값 자체를 외우는 것보다 이게 훨씬 쓸모 있습니다.

High school이 강의에서 제일 중요한 함정입니다

바로 위 노트를 두 번 읽으세요. 여기가 이 강의 전체에서 가장 자주 되풀이되는 함정입니다.

상황

PBMC-C 의 Shannon 이 6.17 — 넷 중 가장 낮다
그래서 "C 가 제일 덜 다양하다" 고 읽고 싶어진다
그런데 C 는 세포가 482개뿐이다 (A 는 5,328개)

왜 이게 함정인가 — 수학으로

Shannon 엔트로피에는 최댓값이 있습니다. 클론이 n 개면 최댓값은 ln(n) 이에요.

클론 수	가능한 최댓값 ln(n)
479개	6.17
5,000개	8.52

C 의 Shannon 이 6.17 이었죠. 그리고 C 의 최댓값도 6.17 입니다.

C 는 낮은 게 아니라 천장에 붙어 있었다

실제로 균등도(= Shannon ÷ 최댓값)를 보면 C 가 0.9996 으로 넷 중 가장 높습니다. 정반대 결론이에요.

비유 — 시험 만점이 다른 두 반

1반 시험은 100점 만점, 2반 시험은 50점 만점입니다.

1반 철수 80점
2반 영희 50점

점수만 보면 철수가 잘했죠. 그런데 영희는 만점입니다. 만점이 다른 시험의 원점수를 그대로 견주면 안 됩니다.

Shannon 도 똑같습니다. 세포를 몇 개 봤느냐에 따라 만점이 달라져요.

해결책 두 가지

균등도를 본다 — 점수를 만점으로 나눈다 (백분율로 바꾸기)
희박화를 한다 — 모두 같은 문항 수로 다시 시험 본다

아래 코드가 두 번째를 합니다. 네 표본에서 480개씩만 무작위로 뽑아 다시 재요. 그러면 네 표본이 거의 같아집니다. 아까 보인 '차이' 의 대부분이 세포를 몇 개 봤는가 였던 거예요.

희박화 — 생태학에서 종 수를 견줄 때 쓰는 그 방법입니다.

Python Runs in your browser

# 세포 수를 맞춰 다시 잰다 - 희박화(rarefaction)
import numpy as np
import tcr

rng = np.random.default_rng(11)
N = 480                                  # 가장 작은 표본에 맞춘다

print(f"{'표본':<10}{'원래 Shannon':>14}{'480개로 맞춘 Shannon':>24}")
for s in tcr.SAMPLES:
    d = tcr.rep(s)
    cells = d[["세포", "클론타입"]].drop_duplicates()
    원래 = tcr.shannon(tcr.clones(s))
    vals = []
    for _ in range(30):
        pick = cells.sample(N, random_state=int(rng.integers(1e6)))
        vals.append(tcr.shannon(pick["클론타입"].value_counts()))
    print(f"{tcr.KO[s]:<10}{원래:>14.3f}{np.mean(vals):>24.3f}")
print()
print("같은 수로 맞추면 네 표본이 거의 같아집니다.")
print("아까 보인 '차이' 의 대부분은 **세포를 몇 개 봤는가** 였습니다.")

High school그래도 남는 차이 하나 — 세포 23개짜리 클론

세포 수를 맞췄더니 네 표본이 거의 같아졌습니다. 그런데 PBMC-B 만 조금 낮게 남았죠. 이유가 있습니다.

B 에는 세포 23개짜리 클론이 하나 있다

다른 표본의 최대 클론은 A 가 9개, C 가 2개, MEL 이 5개입니다. B 만 23개예요.

23개가 왜 이상한가 — 확률로 따져 봅시다

B 에는 세포가 약 3,900개, 클론이 약 3,800개 있습니다. 완전히 무작위라면 한 클론이 뽑힐 확률은 3,800분의 1 쯤이죠.

그런데 그중 하나가 23번 뽑혔습니다. 로또 번호 하나가 한 회차에 23번 나온 것과 비슷한 일이에요. 확률이 사실상 0 입니다.

무작위로는 절대 안 생기는 일 = 무작위가 아니었다

그러면 무엇이 일어났나

그 T세포가 항원을 만났습니다. 만나면 분열해서 배로 늘어나거든요. 1 → 2 → 4 → 8 → 16 → 32. 다섯 번만 분열해도 32개가 됩니다.

즉 세포 23개짜리 클론은 싸운 흔적 입니다. 누군가와 싸웠고, 그래서 그 클론만 불어난 거예요.

그런데 누구와 싸웠을까요

지금은 알 수 없습니다. 그래서 이 강의는 "그 클론은 무언가를 만났습니다" 라고만 적고 넘어갑니다.

그리고 12강에서 정체를 밝힙니다. VDJdb 와 대조해 그 CDR3 에 항원 라벨이 붙어 있는지 확인하는 거예요. 지금 이 궁금증을 남겨 둔 채로 가는 게 포인트입니다.

9강 한 줄 정리

숫자 하나로 요약하되, 그 숫자의 만점이 얼마인지 반드시 확인한다

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세포 수가 다른 두 레퍼토리의 Shannon 을 그대로 견주면 안 되는 이유는?

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희박화(rarefaction) 가 하는 일은?

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클론 하나가 세포 23개를 차지한 것이 뜻하는 바로 가장 알맞은 것은?