6강 / 22강

비율은 서로 묶여 있다 — 호중구가 내려앉으면 나머지가 저절로 오른다

조성 자료(compositional data)의 닫힘 · 그리고 CLR 변환

5강에서 본 두 가지를 나란히 놓아 봅시다.

	WT_CTRL	KD_PD1
림프계	2.3%	21.1% ↑
호중구	48.7%	17.8% ↓

호중구가 31 퍼센트포인트 빠졌습니다. 그 자리를 누군가는 채워야 합니다 — 아무 일도 안 했는데 말이죠.

이것이 조성 자료의 닫힘(closure) 문제입니다. 비율은 독립적인 값이 아니라 서로 묶여 있습니다.

고등학생비율은 서로 묶여 있다

세포 조성 자료의 근본 성질: 비율을 다 더하면 1 이다. 이것을 닫힘(closure) 이라 한다.

닫혀 있으면 무슨 일이 생기나

한 성분이 오르면 나머지가 반드시 내려간다. 독립적으로 움직일 수 없다.

실제 세포 수	대조	병용
호중구	9,000	1,000
림프구	200	200
기타	800	800
림프구 비율	2%	10%

림프구는 하나도 안 늘었는데 비율은 5배 가 되었다. 호중구가 줄어서 생긴 일이다.

호중구가 내려앉으면 나머지가 저절로 오른다 — 아무 일도 안 하고

가짜 자료로 원리를 먼저 확인합니다. 비율만 보면 속습니다.

Python 브라우저에서 실행

import im
import numpy as np

# 아무 일도 없는데 비율이 오르는 것을 만들어 본다
before = np.array([500., 100., 100., 300.])      # 호중구 · T · NK · 나머지
after  = np.array([100., 100., 100., 300.])      # 호중구만 5분의 1로

for name, v in [("전", before), ("후", after)]:
    p = v / v.sum() * 100
    print(f"{name}  세포 수 {v.astype(int)}   비율 {np.round(p, 1)}")

print()
print(f"T세포의 실제 개수 : {before[1]:.0f} → {after[1]:.0f}  (그대로)")
print(f"T세포의 비율     : {before[1]/before.sum()*100:.1f}% → "
      f"{after[1]/after.sum()*100:.1f}%  ({after[1]/after.sum()/(before[1]/before.sum()):.1f} 배)")
print()
print("T세포는 한 개도 늘지 않았는데 비율은 2.5 배가 되었습니다.")

그러면 우리 결과도 가짜인가

확인할 방법이 있습니다. 호중구를 아예 빼고 나머지끼리 다시 비율을 내는 것이죠. 호중구가 만든 착시라면, 빼고 나면 차이가 사라져야 합니다.

고등학생그래서 조성 자료는 보통 통계를 못 쓴다

일반 자료의 가정	조성 자료에서는
변수들이 독립적	합이 고정되어 필연적으로 음의 상관
값의 범위가 무한	0 과 1 사이
거리가 유클리드적	비율 공간의 거리는 다름

가짜 상관이 생긴다

성분이 세 개인 조성에서, 아무 관계 없는 성분끼리도 평균적으로 음의 상관이 나온다. 합이 1 이라는 제약만으로 생기는 것이다.

그러니 "T세포 비율과 대식세포 비율이 음의 상관" 이라는 관찰은 아무 정보도 아닐 수 있다.

제약이 만든 상관을 생물학으로 읽으면 안 된다

의심되는 것을 빼고 다시 재기 — 가장 싸고 확실한 확인 방법입니다.

Python 브라우저에서 실행

import im

c = im.comp()
neu = [ct for ct in c.index if ct.startswith("호중구")]
sub = c.drop(index=neu)
p_after = sub / sub.sum(axis=0) * 100
p_before = c / c.sum(axis=0) * 100

lym = im.LYMPHOID
print(f"{'':<14}" + "".join(f"{s:>11}" for s in im.SAMPLES))
print("-" * 58)
b = p_before.reindex(lym).fillna(0).sum()
a = p_after.reindex(lym).fillna(0).sum()
print(f"{'림프계 (전)':<14}" + "".join(f"{b[s]:>10.2f}%" for s in im.SAMPLES))
print(f"{'림프계 (후)':<14}" + "".join(f"{a[s]:>10.2f}%" for s in im.SAMPLES))
print()
print(f"호중구 포함 : {b['WT_CTRL']:.2f}% → {b['KD_PD1']:.2f}%  ({b['KD_PD1']/b['WT_CTRL']:.1f} 배)")
print(f"호중구 제외 : {a['WT_CTRL']:.2f}% → {a['KD_PD1']:.2f}%  ({a['KD_PD1']/a['WT_CTRL']:.1f} 배)")
print()
print("배수는 줄었지만 차이는 살아남습니다 — 호중구만으로 설명되지 않습니다.")

고등학생CLR 변환

이 문제를 다루는 표준 방법이 중심로그비(CLR) 변환이다.

CLR(xᵢ) = log( xᵢ / 기하평균(x) )

무엇을 하는 것인가

단계	효과
모든 성분의 기하평균으로 나눔	공통 기준을 만듦
로그를 취함	비를 차이로 바꿈 · 범위를 무한으로

기하평균으로 나누는 것이 핵심이다. "전체 대비 이 성분이 상대적으로 얼마인가" 를 재게 된다.

호중구가 절반으로 줄면 기하평균도 함께 내려간다. 그러면 다른 성분의 CLR 값은 덜 움직인다. 닫힘 효과가 부분적으로 상쇄되는 것이다.

비율 자체가 아니라 비율들 사이의 관계를 보도록 좌표를 바꾼다

CLR 로 봐도 결론이 그대로면, 그 결론은 변환 방식의 산물이 아닙니다.

Python 브라우저에서 실행

import im
import numpy as np

z = im.clr()
lym = [ct for ct in im.LYMPHOID if ct in z.index]
neu = [ct for ct in z.index if ct.startswith("호중구")]

print("CLR 값 (표본 안 기하평균 기준)")
print(f"{'세포유형':<18}" + "".join(f"{s:>11}" for s in im.SAMPLES))
print("-" * 62)
for ct in lym + neu:
    print(f"{ct:<18}" + "".join(f"{z.loc[ct, s]:>+11.2f}" for s in im.SAMPLES))
print()
print("림프계는 KD_PD1 에서 크게 오르고 호중구는 내려갑니다 —")
print("백분율로 봤을 때와 방향이 같습니다. 닫힘이 만든 착시가 아니라는 뜻이에요.")

🎮 닫힘 실험실

한 세포유형의 개수를 바꿔 보세요. 나머지 비율이 저절로 따라 움직입니다.

고등학생CLR 도 만능은 아니다

남는 문제	내용
0 을 못 다룸	log(0) 이 정의 안 됨 — 의사 카운트를 더해야
기하평균이 흔들림	성분 하나가 크게 변하면 전체 기준이 흔들림
절대 수는 여전히 모름	변환은 정보를 만들지 않음
해석이 어려움	"CLR 값이 0.5 올랐다" 가 직관적이지 않음

세 번째 줄이 근본이다

CLR 은 좌표를 바꾸는 것이지 절대 수를 복원하는 것이 아니다. 5강에서 본 "분자가 변했나 분모가 변했나" 는 여전히 알 수 없다.

그것을 알려면 절대 수를 재는 실험 이 필요하다. 통계 변환으로는 못 만든다.

변환은 자료를 다루기 좋게 만들 뿐, 없는 정보를 만들지 않는다

🤔 확인 문제

호중구가 절반으로 줄면 T세포 비율이 오르는 이유는?

🤔 확인 문제

호중구를 빼고 다시 계산했더니 림프계 차이가 줄었지만 남은 것이 뜻하는 것은?

🤔 확인 문제

CLR 변환이 하는 일은?