18강 / 20강

점 무리가 생기는 자리 — PCA · 이웃그래프 · UMAP

32,738차원을 2차원 그림으로 접는 세 걸음

세포 하나는 유전자 32,738개짜리 벡터입니다. 32,738차원 공간의 점 하나예요. 그걸 종이에 그릴 수는 없습니다.

그래서 세 걸음을 밟습니다.

	걸음	차원	무엇을 하나
0	변동 큰 유전자 고르기	32,738 → 2,000	세포마다 값이 별로 안 변하는 유전자는 버린다
1	PCA	2,000 → 10~50	가장 크게 흔들리는 방향 몇 개만 남긴다
2	이웃그래프 + 군집	—	가까운 세포끼리 선을 잇고, 빽빽한 덩어리를 찾는다
3	UMAP	10~50 → 2	그림 그리기용. 계산은 여기서 안 한다

고등학생32,738차원을 2차원으로

유전자가 3만 개면 각 세포는 3만 차원의 점입니다. 그림으로 못 그려요.

단계	하는 일	차원
1. PCA	주요 변이 방향만 남김	3만 → 30~50
2. 이웃그래프	가까운 세포끼리 연결	—
3. UMAP	2차원으로 접음	30 → 2

세 걸음으로 3만 차원을 2차원으로 접습니다.

고등학생PCA — 무엇을 남기나

주성분분석은 자료가 가장 크게 흩어진 방향을 찾습니다.

성분	담는 것
PC1	가장 큰 변이 — 대개 세포 유형의 큰 구분
PC2~10	그다음 변이들
PC50 이후	대개 노이즈

상위 30~50개만 쓰면 신호는 남고 노이즈는 버려집니다.

PC 두 개만으로도 세 유형이 갈라집니다.

Python 브라우저에서 실행

# PCA 를 손으로 — 세 세포유형을 만들고 접어 본다
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
rng = np.random.default_rng(4)

G, per = 60, 120           # 유전자 60개, 유형마다 세포 120개
X = rng.normal(0, 1, (per * 3, G))

# 유형마다 다른 유전자 20개를 올린다
X[:per,        0:20] += 2.6
X[per:2*per,  20:40] += 2.6
X[2*per:,     40:60] += 2.6
label = np.repeat([0, 1, 2], per)

# PCA = 중심 맞추고 SVD
Xc = X - X.mean(0)
U, S, Vt = np.linalg.svd(Xc, full_matrices=False)
pcs = U[:, :2] * S[:2]

var = S ** 2 / (S ** 2).sum()
print("PC1 이 설명하는 분산 %.1f%%,  PC2 %.1f%%" % (var[0] * 100, var[1] * 100))
print("앞 10개 PC 가 %.1f%% 를 설명합니다." % (var[:10].sum() * 100))

plt.figure(figsize=(5.2, 4.4))
for k, col in enumerate(["#3b82f6", "#ef4444", "#10b981"]):
    m = label == k
    plt.scatter(pcs[m, 0], pcs[m, 1], s=9, alpha=.7, color=col, label="type %d" % (k + 1))
plt.xlabel("PC1"); plt.ylabel("PC2"); plt.legend(fontsize=8)
plt.tight_layout(); plt.show()

PC 를 몇 개 쓸까

보통 10~50개 를 씁니다. 정하는 법은 두 가지예요.

📉

팔꿈치 그림

설명 분산이
평평해지는 자리까지

🎲

뒤섞기 검정

값을 무작위로 섞었을 때보다
확실히 큰 PC 까지

🤷

그냥 넉넉히

30~50개.
보통 크게 안 달라진다

PBMC 3k 표준 절차는 10개 를 씁니다. 너무 적으면 비슷한 세포유형이 붙어 버리고, 너무 많으면 잡음까지 따라갑니다.

고등학생이웃그래프와 군집화

각 세포를 가장 비슷한 이웃 k개와 연결합니다. 그러면 그물이 생겨요.

단계	내용
k-최근접 이웃	각 세포를 이웃과 연결
공유 이웃 가중	이웃을 많이 공유하면 더 강하게
군집 검출	연결이 촘촘한 덩어리를 찾음 (Leiden 등)

해상도(resolution)를 올리면 군집이 잘게 쪼개집니다 — 정답은 없습니다.

n_neighbors 하나가 군집 개수를 바꿉니다.

Python 브라우저에서 실행

# 이웃그래프 군집 — 착상만 손으로
import numpy as np
rng = np.random.default_rng(4)

per = 60
pts = np.vstack([
    rng.normal([0, 0],   0.5, (per, 2)),
    rng.normal([4, 0.4], 0.5, (per, 2)),
    rng.normal([2, 3.5], 0.5, (per, 2)),
])
truth = np.repeat([0, 1, 2], per)

def knn_graph(P, k):
    d = np.linalg.norm(P[:, None, :] - P[None, :, :], axis=2)
    np.fill_diagonal(d, np.inf)
    return np.argsort(d, axis=1)[:, :k]

for k in [3, 15, 60]:
    nb = knn_graph(pts, k)
    same = (truth[nb] == truth[:, None]).mean()
    print("이웃 %2d개를 볼 때, 이웃이 같은 무리일 확률 %.1f%%" % (k, same * 100))
print()
print("이웃을 너무 많이 보면 다른 무리까지 끌어들입니다 -> 군집이 합쳐집니다.")
print("너무 적게 보면 한 무리가 여러 조각으로 쪼개집니다.")

배치 효과 — 시료가 여럿일 때

시료 두 개를 합쳐 UMAP 을 그렸더니 시료별로 갈라져 있다면, 세포유형이 아니라 실험 날짜를 보고 있는 것입니다.

고치는 도구가 Harmony · scVI · Seurat integration 이에요. 다만 세게 걸면 진짜 차이까지 지웁니다 — 치료군과 대조군의 차이를 보려던 것이라면 특히 조심해야 합니다.

고등학생UMAP을 읽을 때 조심할 것

믿어도 되는 것	믿으면 안 되는 것
가까이 있으면 비슷함	덩어리 사이의 거리
덩어리가 나뉘어 있음	덩어리의 크기
—	덩어리의 위치·방향

UMAP은 국소 구조를 보존하고 전역 구조는 왜곡합니다.

두 덩어리가 멀리 떨어져 있다고 아주 다른 것이 아니고, 붙어 있다고 비슷한 것도 아닙니다. 그림은 탐색용이고 판단은 표지자 발현으로 해야 해요.

🤔 확인 문제

UMAP 그림에서 두 군집 사이의 거리 는 무엇을 뜻하나?

🤔 확인 문제

군집을 실제로 나누는 것은 어느 단계인가?