8강 / 20강

차이를 잰다 — 평균차와 웰치 t

Welch BL. Biometrika 34:28-35 (1947)

두 무리가 다르다는 것을 숫자 하나로 말하려면 무엇이 필요할까요.

가장 먼저 떠오르는 것은 평균의 차이입니다.

차이 = MSI 평균 − MSS 평균 = −0.907 − (−0.069) = −0.837

이 숫자만으로 충분할까요. 아닙니다. 두 무리가 각각 얼마나 흔들리는지를 모르면 −0.837 이 큰지 작은지 알 수 없습니다.

차이 0.8 · 둘 다 좁게 모임

확실히 다릅니다

차이 0.8 · 둘 다 넓게 퍼짐

우연일 수 있습니다

그래서 차이를 흔들림으로 나눕니다. 그것이 t 입니다.

t = (평균 차이) ÷ (그 차이 자체가 흔들리는 정도)

고등학생왜 산포를 봐야 하나

두 반의 수학 평균이 5점 차이 난다고 합시다. A반이 전부 70점 근처인데 B반은 20~100점으로 흩어져 있다면, 그 5점을 믿기 어렵습니다.

상황	평균차	산포	믿을 만한가
둘 다 촘촘	0.5	작음	예
둘 다 흩어짐	0.5	큼	아니오

그래서 차이 ÷ 산포를 봅니다 — 이것이 t 통계량입니다.

t = −5.65. 손으로 짠 값이 DepMap 전체 계산과 같습니다.

Python 브라우저에서 실행

# 웰치 t 를 손으로 짜 봅니다. 공식 그대로입니다.
import wrn
import numpy as np

c = wrn.cells()
msi = c["msi"] == "MSI"
a = c.loc[msi, "WRN"].values
b = c.loc[~msi, "WRN"].values

na, nb = len(a), len(b)
va, vb = a.var(ddof=1), b.var(ddof=1)

se = np.sqrt(va / na + vb / nb)              # 차이가 흔들리는 정도
t = (a.mean() - b.mean()) / se

print("평균 차이", round(a.mean() - b.mean(), 4))
print("표준오차 ", round(se, 4))
print("t        ", round(t, 4))

p = 1.23e-06. 우연히 이만큼 갈릴 확률이 백만분의 일쯤이라는 뜻입니다.

Python 브라우저에서 실행

# 자유도까지 — 웰치-새터스웨이트 공식.
import wrn
import numpy as np
from scipy import stats

c = wrn.cells()
msi = c["msi"] == "MSI"
a = c.loc[msi, "WRN"].values
b = c.loc[~msi, "WRN"].values

na, nb = len(a), len(b)
va, vb = a.var(ddof=1), b.var(ddof=1)
se = np.sqrt(va / na + vb / nb)
t = (a.mean() - b.mean()) / se
df = se ** 4 / (va ** 2 / (na ** 2 * (na - 1)) + vb ** 2 / (nb ** 2 * (nb - 1)))
p = 2 * stats.t.sf(abs(t), df)

print("t  =", round(t, 4))
print("df =", round(df, 2), "  ← 정수가 아닙니다")
print("p  =", format(p, ".3e"))
print()
print("scipy 로 확인:", [round(float(v), 4) for v in stats.ttest_ind(a, b, equal_var=False)[:1]],
      format(float(stats.ttest_ind(a, b, equal_var=False)[1]), ".3e"))

고등학생왜 웰치 t인가

보통의 t검정은 두 무리의 분산이 같다고 가정합니다. 여기서는 그 가정이 위험해요.

	MSI	MSS
표본 수	43	565
분산 추정의 안정성	불안정	안정

Welch(1947)가 제안한 방법은 분산이 달라도 쓸 수 있습니다. 자유도를 조정해서 보정해요.

표본 수가 크게 다르면 웰치 t를 기본으로 쓰는 것이 안전합니다.

9강부터 이 계산을 유전자 1,000개에 한꺼번에 돌립니다.

Python 브라우저에서 실행

# 같은 계산을 꾸러미 함수로 — 다음 강부터는 이걸 씁니다.
import wrn

c = wrn.cells()
msi = c["msi"] == "MSI"
t, df = wrn.welch(c.loc[msi, "WRN"], c.loc[~msi, "WRN"])
print("t", round(t, 4), " df", round(df, 2))

고등학생t가 크다는 것의 뜻

t가 크려면	내용
차이가 커야	분자가 큼
산포가 작아야	분모가 작음
표본이 많아야	추정이 안정

세 번째 줄이 함정을 만듭니다. 표본이 많으면 아주 작은 차이도 t가 커져요. 그래서 t만 보면 안 되고 차이의 크기도 봐야 합니다.

9강과 10강이 이 두 가지 자를 다룹니다 — 그리고 한 장에 놓습니다.

🤔 확인 문제

웰치 t 를 보통 t 대신 쓰는 이유는?

🤔 확인 문제

p 값이 아주 작다는 것만으로 좋은 표적이라고 말할 수 없는 이유는?