8강 / 20강

평균이 거짓말하는 자리 — 오른쪽 꼬리

중앙값 6.68 · 평균 10.02 · 최대 69.5

566명의 TMB 를 만들었습니다. 이제 그 숫자들이 어떻게 흩어져 있는지 봅니다. 분포를 보기 전에 평균을 말하지 않는다 — 통계에서 가장 자주 어기는 규칙입니다.

고등학생평균이 거짓말하는 자리

통계량	값
중앙값	6.68
평균	10.02
최대	69.5

평균이 중앙값의 1.5배 다. 그리고 최대값이 중앙값의 10배 다.

전형적인 오른쪽 꼬리 분포

대부분이 낮은 값에 몰려 있고 소수가 아주 높다.

평균 10.02 와 문턱 10 이 우연히 가깝다 — 그런데 무관한 값이다

평균 10.02, 중앙값 6.68. 평균이 3사분위 근처까지 끌려 올라가 있습니다.

Python 브라우저에서 실행

import tmb

t = tmb.luad()["tmb"]
print("표본", len(t), "명")
print("  최솟값 ", round(t.min(), 2))
print("  1사분위", round(t.quantile(.25), 2))
print("  중앙값 ", round(t.median(), 2))
print("  3사분위", round(t.quantile(.75), 2))
print("  최댓값 ", round(t.max(), 2))
print()
print("  평균   ", round(t.mean(), 2), "  ← 중앙값보다 50% 크다")

평균이 중앙값보다 훨씬 큰 것은 오른쪽 꼬리 때문입니다. TMB 69.5 인 사람 하나가 평균을 끌어올립니다. 중앙값은 꿈쩍도 않습니다.

중앙값 6.68

가운데 사람의 값. 극단값이 아무리 커도 흔들리지 않는다

평균 10.02

한 사람의 69.5 가 566명 전부를 조금씩 밀어 올린다

고등학생왜 이런 분포가 나오나

이유	내용
아래 한계	0 밑으로 못 감
위는 열림	수백까지 가능
돌연변이 유발 요인	흡연 · 자외선 · 수선 결함
MSI-High	14강 — 아주 높은 소집단

네 번째가 꼬리를 만든다

DNA 수선이 망가진 종양은 변이가 폭발적으로 쌓인다.

그런 종양이 몇 %만 있어도 분포에 긴 꼬리 가 생긴다.

즉 분포가 섞여 있다

"보통 종양" 과 "수선 결함 종양" 이 다른 분포 인데 합쳐져 있는 것이다.

긴 꼬리는 대개 다른 성질의 소집단이 섞여 있다는 신호다

왼쪽은 벽 하나와 빈 벌판. 오른쪽은 봉우리 하나가 드러납니다. 붉은 선이 문턱 10 입니다.

Python 브라우저에서 실행

import tmb
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

t = tmb.luad()["tmb"].values

fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(10, 3.6))
ax[0].hist(t, bins=35, range=(0, 70), color="#3b82f6")
ax[0].axvline(10, color="#ef4444", ls="--")
ax[0].set_title("선형 눈금")
ax[0].set_xlabel("TMB (mut/Mb)")

ax[1].hist(np.log10(t + .1), bins=30, range=(-1, 2), color="#10b981")
ax[1].axvline(np.log10(10.1), color="#ef4444", ls="--")
ax[1].set_title("로그 눈금")
ax[1].set_xlabel("log10(TMB + 0.1)")
plt.tight_layout()
plt.show()

고등학생로그 눈금으로 보기

이런 분포는 로그 눈금 으로 그려야 잘 보인다.

눈금	보이는 것
선형	대부분이 왼쪽에 뭉침 · 꼬리만 보임
로그	전체 범위가 고르게 보임

로그로 보면 대칭에 가까워진다

TMB 분포는 로그정규 에 가깝다. 로그를 취하면 종 모양이 된다.

그리고 문턱의 의미가 달라진다

선형 눈금에서 "10 과 20 의 차이" 와 "50 과 60 의 차이" 는 같아 보인다. 로그 눈금에서는 앞의 것이 훨씬 크다.

생물학적으로도 그렇다 — TMB 5 와 10 의 차이가 50 과 55 의 차이보다 크다.

배수로 생각해야 하는 값은 로그 눈금에서 봐야 한다

로그를 씌우면 평균과 중앙값이 거의 붙습니다. 분포가 좌우대칭에 가까워졌다는 뜻입니다.

Python 브라우저에서 실행

import tmb
import numpy as np

t = tmb.luad()["tmb"]
t = t[t > 0]

print("원값     — 평균", round(t.mean(), 2), "· 중앙값", round(t.median(), 2))
lg = np.log10(t)
print("로그값   — 평균", round(lg.mean(), 3), "· 중앙값", round(lg.median(), 3))
print("로그평균을 되돌리면", round(10 ** lg.mean(), 2), "  ← 기하평균")
print()
print("기하평균이 중앙값에 훨씬 가깝습니다. 이런 분포에서는 이쪽이 '가운데' 에 가깝습니다.")

TMB 0 인 사람이 5명 있습니다. 로그를 씌우려면 이 사람들을 어떻게 해야 할까요. log10(0) 은 정의되지 않습니다. 그래서 흔히 작은 값을 더합니다 — 위 그림에서는 0.1 을 더했습니다. 얼마를 더하느냐가 그림 왼쪽 끝을 바꿉니다. 이것도 사람이 정하는 규칙 가운데 하나입니다.

고등학생어느 통계량을 보고할까

목적	맞는 통계량
전형적인 값	중앙값
분포의 폭	사분위 범위
극단값	최대 · 상위 백분위
전체 모양	히스토그램 (로그 눈금)

평균은 언제 쓰나

총합과 관련될 때만. "이 코호트 전체의 변이 총수" 같은 것.

"전형적인 환자의 TMB" 를 말할 때는 평균이 부적절하다.

치우친 분포에서 평균은 아무도 대표하지 않는 값일 수 있다

🤔 확인 문제

TMB 분포에서 평균(10.02)이 중앙값(6.68)보다 훨씬 큰 까닭은?

🤔 확인 문제

TMB 처럼 오른쪽으로 긴 분포를 다룰 때 가장 알맞은 첫 손질은?