6강 / 20강

표준오차 — 흩어짐과 불확실은 다른 것이다

σ 는 사람마다 다른 정도, SE 는 내 추정이 흔들리는 정도

통계에서 가장 자주 뒤섞이는 두 수가 있습니다.

표준편차 s

사람들이 서로 얼마나 다른가
사람을 더 모아도 줄지 않는다 — 세상이 그런 것이니까

표준오차 SE

내 평균이 얼마나 못 미더운가
사람을 더 모으면 줄어든다 — 내가 더 알게 되니까

SE = s / √n

식은 한 줄인데 뜻이 전혀 다릅니다. 앞엣것은 세상의 성질이고 뒤엣것은 내 지식의 상태예요.

고등학생흩어짐과 불확실은 다른 것입니다

이 강의에서 가장 자주 헷갈리는 두 낱말입니다. 부제가 정확해요.

	표준편차 (SD, s)	표준오차 (SE)
재는 것	사람마다 다른 정도	내 추정이 흔들리는 정도
n 을 늘리면	안 변한다	줄어든다
무엇의 성질	자연의 성질	내 측정의 성질

SE = SD ÷ √n

비유 — 학생 키

학생들의 키를 잽니다.

SD — 학생들 키가 서로 얼마나 다른가. 100명을 재든 1,000명을 재든 이 값은 그대로입니다. 사람들이 갑자기 비슷해지지 않으니까요
SE — 내가 잰 평균 키가 얼마나 못 미더운가. 더 많이 재면 평균이 더 정확해집니다

SD 는 세상에 대한 것, SE 는 내 앎에 대한 것

왜 헷갈리나

둘 다 "± 무엇" 으로 적히기 때문입니다. 50 ± 12 라고 쓰여 있으면 어느 쪽인지 알 수가 없어요.

그리고 SE 가 항상 작습니다(√n 으로 나누니까). 그래서 SE 로 적으면 더 정밀해 보입니다.

이게 다음 note 의 경고로 이어집니다.

s 는 가만히 있고 SE 만 내려갑니다. 이 표가 6강의 전부입니다.

Python 브라우저에서 실행

# 사람을 더 모으면 무엇이 줄고 무엇이 안 줄어드나
import numpy as np
rng = np.random.default_rng(13)

POP_SD = 12.0          # 세상이 정한 값 - 우리가 바꿀 수 없다
print(f"모집단의 진짜 흩어짐 σ = {POP_SD}")
print()
print("   n      표본표준편차 s     표준오차 SE")
for n in [10, 40, 160, 640, 2560]:
    s_list, se_list = [], []
    for _ in range(400):
        x = rng.normal(50, POP_SD, n)
        s_list.append(x.std(ddof=1))
        se_list.append(x.std(ddof=1) / np.sqrt(n))
    print(f"  {n:5d}      {np.mean(s_list):8.3f}      {np.mean(se_list):8.3f}")
print()
print("s 는 12 근처에서 움직이지 않는다 - 세상이 그만큼 흩어져 있으니까.")
print("SE 는 계속 줄어든다 - 내가 더 알게 되니까.")
print()
print("SE 를 절반으로 줄이려면 n 을 네 배로 해야 한다:")
for n in [100, 400, 1600]:
    print(f"  n={n:5d}  SE = {POP_SD/np.sqrt(n):.3f}")

고등학생이 표가 6강의 전부입니다

캡션이 "s 는 가만히 있고 SE 만 내려갑니다" 라고 합니다. 코드 결과를 이렇게 읽으세요.

n	s (표준편차)	SE (표준오차)
25	약 12	2.4
100	약 12 (그대로)	1.2 (절반)
400	약 12 (그대로)	0.6

s 는 흔들리기만 하고 SE 는 줄어든다

s 가 흔들리는 것도 이유가 있습니다

n 이 작으면 s 자체도 부정확합니다. 그래서 값이 왔다갔다 해요. 다만 줄어들지는 않습니다 — 어느 값을 중심으로 흔들릴 뿐이죠.

√n 이 세 번째로 나왔습니다

2강(동전), 4강(표본평균), 6강(SE). 전부 같은 법칙이에요.

정확도를 2배로 하려면 표본을 4배로

이게 연구에서 가장 잔인한 사실 중 하나입니다. 노력이 제곱으로 들어가니까요.

목표	필요한 환자 수
지금 정확도	100명
2배 정밀하게	400명
10배 정밀하게	10,000명

그래서 정밀도를 조금만 올리려 해도 연구비가 폭증합니다. 10강의 검정력 계산이 그래서 필요해요 — 딱 필요한 만큼을 정해야 하거든요.

고등학생논문의 오차막대가 무엇인지 확인하세요

이 note 가 당장 써먹을 이야기입니다.

그림의 ± 막대가 SD 인지 SE 인지 반드시 확인하라

왜 중요한가

같은 자료인데 막대 길이가 완전히 달라집니다.

n=25 일 때	막대 길이	보이는 인상
SD 로 그리면	12	흩어져 보인다
SE 로 그리면	2.4	아주 정밀해 보인다

5배 차이입니다. 그리고 SE 로 그리면 두 군이 안 겹쳐 보여서 차이가 있는 것처럼 보입니다.

SE 막대는 더 좋아 보이게 만든다

그래서 퀴즈의 답

본문 퀴즈가 묻습니다 — A 는 50 ± 12 (SD, n=25), B 는 50 ± 12 (SE, n=25). 어느 쪽이 더 정밀한가?

	SD	SE
A	12	12 ÷ 5 = 2.4
B	12 × 5 = 60	12

A 가 5배 정밀합니다. 같은 숫자 12 인데요.

숫자만 보고 비교하면 정반대로 판단한다

논문에서 확인하는 법

그림 캡션을 읽는다 — "mean ± SEM" 또는 "mean ± SD"
SEM = standard error of the mean = SE 입니다
아무 말도 없으면? 믿을 수 없는 그림입니다

학술지에 따라 반드시 명시하도록 요구합니다. 안 적혀 있으면 그 자체가 경고 신호예요.

왜 √n 인가

직관적으로는 n 으로 나눠야 할 것 같은데 √n 입니다. 이유는 분산이 더해지기 때문이에요.

독립인 값을 n 개 더하면
   분산이 n 배가 된다              Var(합) = n·σ²

그것을 n 으로 나눠 평균을 만들면
   분산은 n² 로 나뉜다             Var(평균) = n·σ² / n² = σ²/n

표준편차는 분산의 제곱근이므로
   SD(평균) = σ/√n

제곱근이 나오는 자리는 분산에서 표준편차로 돌아올 때입니다. 그래서 정밀도를 두 배로 올리는 값이 네 배가 되는 거예요.

고등학생그래서 무엇을 보여 줘야 하나

본문이 무엇을 보여 줄 것인가를 정리합니다.

보여 주려는 것	쓸 것
사람들이 얼마나 다른가	SD 또는 분포 자체
내 추정이 얼마나 미더운가	SE 또는 신뢰구간
둘 다	낱낱 점 + 구간 ← 가장 정직

가장 좋은 것은 낱낱 점을 다 찍는 것

/py 13강에서 배운 그것입니다 — 상자그림 위에 점을 겹쳐 찍는 것. 요즘 학술지의 기본 요구예요.

왜 점을 찍는 게 최선인가

n 이 보인다 — 3개인지 300개인지
모양이 보인다 — 쌍봉인지 치우쳤는지 (3강)
극단값이 보인다
보는 사람이 스스로 판단할 수 있다

요약은 보여 주는 사람의 선택이고, 낱낱 점은 자료 그 자체다

다음 강의 예고

7강이 신뢰구간을 다룹니다. SE 에서 한 걸음 더 나간 것이에요.

신뢰구간 ≈ 평균 ± 2 × SE

대략 이렇습니다(정확히는 t 분포를 씁니다). 그러니 SE 를 이해했으면 신뢰구간도 거의 이해한 겁니다.

다만 해석이 아주 까다로워요. 7강 전체가 그 이야기입니다.

🤔 확인 문제

두 논문이 같은 것을 쟀습니다. A 는 평균 50 ± 12 (SD, n=25), B 는 평균 50 ± 12 (SE, n=25) 입니다. 어느 쪽 추정이 더 정밀한가요?