4강 / 20강

표본 — 일부만 보고 전체를 말한다

표본분포 · 그리고 '많이 뽑는 것' 보다 중요한 것

TCGA 폐선암 566명을 봤습니다. 그런데 알고 싶은 것은 폐선암 전체예요.

566명은 표본이고, 폐선암 전체는 모집단입니다. 통계는 앞엣것으로 뒤엣것을 말하는 기술이고, 그 값은 늘 조금 틀립니다.

🌍

모집단

알고 싶은 전체. 볼 수 없다

🥄

표본

실제로 본 일부. 이것만 있다

📐

추정

표본의 값으로 모집단의 값을 짐작한다

고등학생일부만 보고 전체를 말하는 일

통계가 하는 일을 한 줄로 줄이면 이겁니다.

일부(표본)만 보고 전체(모집단)를 말한다

왜 전부 안 보나

못 본다 — 전 세계 폐암 환자를 다 조사할 수는 없다
비싸다 — 유전체 하나 읽는 데 돈이 든다
망가뜨린다 — 혈액을 다 뽑으면 환자가 죽는다

비유 — 국이 짠지 보는 법

국이 짠지 어떻게 확인하죠? 다 마셔 보지 않습니다. 한 숟갈만 떠서 맛봐요.

그게 통하는 이유는 국이 잘 섞여 있기 때문입니다. 바닥만 뜨거나 위만 뜨면? 틀린 답이 나옵니다.

한 숟갈이 전체를 닮았느냐가 전부다

그래서 두 가지가 중요합니다

	무엇	어느 강
얼마나 뽑았나	표본 크기	6 · 10강
어떻게 뽑았나	치우침	바로 다음 note

그리고 다음 note 가 둘 중 무엇이 더 중요한지를 말합니다. 답이 의외예요.

고등학생240만 명에게 물었는데 틀렸습니다

note 의 제목이 "많이 뽑는 것보다 중요한 것 — 어떻게 뽑았나" 입니다. 역사에 남은 사례가 있어요.

1936년 미국 대통령 선거

Literary Digest 라는 잡지가 여론조사를 했습니다.

	Literary Digest	갤럽
표본 수	240만 명	약 5만 명
예측	랜던 승리	루스벨트 승리
결과	완전히 틀림	맞음

50배 많이 물었는데 틀렸다

왜 틀렸나

명단을 전화번호부와 자동차 등록부에서 뽑았습니다. 1936년은 대공황 직후였어요.

그 시절에 전화와 자동차가 있는 사람은? 부자입니다. 그리고 부자들은 랜던을 지지했어요.

치우친 표본은 아무리 커도 치우친 답을 준다

여기가 핵심입니다

	표본을 늘리면
우연한 흔들림	줄어든다 ✔
치우침	안 줄어든다 ✘

오히려 더 나쁩니다. 표본이 크면 틀린 답을 더 좁은 신뢰구간으로 말하게 되거든요. 확신에 찬 오답이 됩니다.

치우침은 돈으로 못 고친다

지금도 같은 일이 일어납니다

인터넷 설문 — 인터넷 하는 사람만
병원 자료 — 병원에 온 사람만
유전체 연구 — 오랫동안 유럽계가 대부분이었다

마지막이 실제 문제입니다. 유럽계로 만든 유전 위험 점수가 다른 인종에서는 잘 안 맞아요. 표본이 치우쳐서요.

표본평균은 <b>평균적으로는 맞습니다</b>. 문제는 한 번 뽑은 것이 얼마나 벗어날 수 있느냐예요.

Python 브라우저에서 실행

# 표본을 여러 번 뽑으면 평균은 어떻게 흩어지나
import numpy as np
rng = np.random.default_rng(11)

# 모집단 - 우리는 볼 수 없다고 하자
POP = rng.lognormal(2.0, 0.9, 200000)      # 오른쪽 꼬리가 긴 분포 (TMB 를 닮았다)
print(f"모집단 평균 {POP.mean():.3f} · 중앙값 {np.median(POP):.3f}")
print()

for n in [10, 50, 200, 566, 2000]:
    means = [rng.choice(POP, n, replace=False).mean() for _ in range(2000)]
    means = np.array(means)
    print(f"  {n:5d}명씩 뽑으면  표본평균의 평균 {means.mean():7.3f}"
          f"   흩어짐 {means.std(ddof=1):6.3f}")
print()
print("가운데는 늘 모집단 평균 근처다 - 치우치지 않았다.")
print("달라지는 것은 흩어짐뿐이고, 그것이 6강의 표준오차다.")

고등학생표본평균은 평균적으로는 맞습니다

캡션이 미묘한 말을 합니다 — "표본평균은 평균적으로는 맞습니다".

문제는 한 번 뽑은 것이 얼마나 벗어날 수 있느냐

두 가지를 구별해야 합니다

물음	답
표본평균이 치우쳐 있나?	아니다 — 평균적으로는 참값이다
내가 뽑은 이번 것이 맞나?	모른다 — 벗어나 있을 수 있다

비유 — 활쏘기

화살을 100발 쏘았습니다. 과녁 중앙을 중심으로 흩어져 있어요. 평균 위치는 정확히 중앙입니다.

그런데 딱 한 발만 쏘면? 중앙에 맞을 수도, 한참 벗어날 수도 있죠.

"평균적으로 정확하다" 와 "이번에 정확하다" 는 다른 말이다

연구는 대개 한 번 합니다. 그러니 이번 것이 얼마나 벗어날 수 있나가 진짜 관심사예요. 그게 표준오차이고 6강의 주제입니다.

그리고 √n 이 또 나옵니다

표본을 4배로 늘리면 흔들림은 절반

2강에서 본 그 법칙입니다. 이 강의에서 가장 자주 나오는 수식이에요.

n	흔들림 (상대적)
100명	1.00
400명	0.50
1,600명	0.25

퀴즈에서 "100명에서 400명으로 늘리면?" 을 묻습니다. 답은 절반입니다 — 4분의 1이 아니라요. √4 = 2 니까요.

표본분포 — 이 강의에서 가장 중요한 개념

헷갈리기 쉬운 세 가지를 갈라 둡니다.

	무엇의 흩어짐인가	기호
모집단 분포	개체가 흩어진 모양	σ
표본의 분포	내가 뽑은 그 n 개가 흩어진 모양	s
표본분포	표본평균이 흩어진 모양 — 뽑기를 되풀이했다면	s/√n

세 번째가 이상하게 들립니다. 우리는 한 번만 뽑았으니까요. 표본분포는 실제로 본 것이 아니라 "되풀이했다면 이랬을 것" 이라는 상상입니다.

그런데 그 상상 위에 신뢰구간(7강)과 p 값(9강)이 통째로 서 있습니다. 통계의 거의 모든 문장이 일어나지 않은 되풀이를 가리키고 있어요.

고등학생표본분포 — 되풀이했다면 이랬을 것

표본분포라는 말이 나옵니다. 이 강의에서 가장 헷갈리는 낱말이니 정리하고 갑시다.

이름	무엇이 흩어져 있나
자료의 분포	사람들이 흩어진 모양 (3강)
표본분포	표본평균들이 흩어진 모양

표본분포는 평균의 분포다 — 사람의 분포가 아니다

비유 — 반 평균의 분포

전교에 반이 30개 있습니다.

학생들의 점수가 흩어진 모양 → 자료의 분포
반 평균 30개가 흩어진 모양 → 표본분포

둘은 완전히 다릅니다. 학생 점수는 40~100점으로 넓게 퍼지는데, 반 평균은 65~75점 처럼 훨씬 좁게 모여요.

평균은 낱낱보다 덜 흩어진다 — 이것이 √n 의 법칙

그런데 문제가 있습니다

실제 연구에서는 반이 하나뿐입니다. 표본을 한 번만 뽑아요. 표본분포를 볼 수가 없습니다.

표본분포는 "되풀이했다면 이랬을 것" 이라는 상상이다

그럼 어떻게 아나 — 세 가지 길

방법	어떻게	어느 강
수학으로	중심극한정리를 쓴다	5강
섞어서	이름표를 섞어 만든다	8 · 12강
다시 뽑아서	가진 자료에서 복원추출	13강

세 가지가 같은 상상을 세 가지 방법으로 만드는 겁니다. 이 강의의 뼈대가 여기 있어요.

🤔 확인 문제

표본 수를 100명에서 400명으로 늘렸습니다. 표본평균의 흩어짐(표준오차)은 어떻게 되나요?

해설 s/√n 이므로 n 이 4배가 되면 √4 = 2 로 나뉩니다 — 절반이에요. 정밀도를 두 배로 올리려면 사람을 네 배 모아야 한다는 뜻이고, 이것이 /reg 6강에서 3상이 커지는 이유였습니다.