3강 / 20강

분포 — 평균 하나로 뭉개면 잃는 것

TCGA-LUAD 566명의 변이부담 · 중앙값 6.68 대 평균 10.02

수백 개의 값을 받았습니다. 어떻게 요약할까요?

평균을 냅니다. 그런데 평균 하나가 거짓말을 하는 경우가 있어요. 이 사이트에 그 예가 이미 있습니다.

고등학생평균 하나로 뭉개면 잃는 것

부제에 실제 숫자가 있습니다 — TCGA 폐암 환자 566명의 변이부담.

중앙값 6.68 · 평균 10.02 — 왜 이렇게 다른가

평균과 중앙값의 차이

	평균	중앙값
구하는 법	다 더해서 나눈다	줄 세워 가운데
극단값에	휘둘린다	안 휘둘린다

비유 — 술집에 빌 게이츠가 들어오면

동네 술집에 손님 10명이 있습니다. 평균 연봉 4,000만 원이라 합시다.

거기에 빌 게이츠가 들어옵니다. 이제 평균 연봉은?

평균 수천억 원 — 그런데 11명 중 10명은 4,000만 원

평균이 거짓말을 하는 게 아닙니다. 계산은 정확해요. 다만 아무도 대표하지 못합니다.

중앙값은? 거의 안 변합니다. 4,000만 원 근처예요. 가운데 사람이 누구인지는 부자 한 명이 들어와도 안 바뀌니까요.

변이부담이 딱 그 모양입니다

대부분의 환자는 변이가 적고, 소수가 아주 많습니다. 그래서 평균이 중앙값보다 1.5배 큰 거예요.

평균 > 중앙값 → 오른쪽으로 늘어진 분포

이 관계는 반대로도 쓸 수 있습니다 — 논문에서 평균과 중앙값이 크게 다르면 치우친 자료구나 하고 바로 알 수 있어요.

같은 566명, 두 개의 '가운데'

/tmb(종양 변이 부담) 강의가 TCGA 폐선암 566명의 변이부담을 계산해 두었습니다.

요약값	값	무엇을 말하나
중앙값	6.68	절반은 이보다 낮다
평균	10.02	전부 더해서 566 으로 나눈 값
1사분위	2.73	아래쪽 4분의 1
3사분위	13.58	위쪽 4분의 1이 시작하는 곳
최댓값	69.53	중앙값의 열 배

평균이 중앙값보다 50%나 큽니다. 이유는 오른쪽 꼬리예요 — 변이가 아주 많은 환자 몇 명이 평균을 통째로 끌어올립니다.

이 자료에서 "폐선암 환자의 변이부담은 10 정도" 라고 말하면 틀립니다. 절반이 6.68 아래에 있으니까요.

고등학생치우친 자료는 도처에 있습니다

이런 오른쪽으로 늘어진 분포는 예외가 아니라 기본입니다. 여러분 주변에도 잔뜩 있어요.

무엇	왜 치우치나
유튜브 조회수	대부분 몇백, 극소수가 1억
도시 인구	대부분 작은 읍면, 서울 하나가 압도
소득	말할 것도 없다
책 판매량	베스트셀러 몇 권이 절반
유전자 발현량	대부분 작고 몇 개가 아주 크다

왜 이렇게 많은가

곱셈으로 커지는 것은 다 이 모양이 된다

더하기로 커지면 종 모양이 됩니다 (키, 몸무게). 곱하기로 커지면 오른쪽으로 늘어져요.

세포가 분열하는 것도, 조회수가 퍼지는 것도, 이자가 붙는 것도 전부 곱셈이죠.

그래서 로그를 씌웁니다

로그는 곱셈을 덧셈으로 바꿉니다. 그래서 —

치우친 자료에 로그를 씌우면 종 모양이 된다

종 모양이 되면 평균과 표준편차가 뜻을 갖고, t 검정 같은 도구를 쓸 수 있게 됩니다(11강).

생물정보학에서 거의 항상 로그를 씌우는 이유예요. 습관이 아니라 자료의 성질 때문입니다.

고등학교 과정과 이어 보면

학교에서는 정규분포를 주로 다룹니다. 그런데 실제 자료는 정규분포가 아닌 경우가 훨씬 많아요.

그래서 실무에서는 ①로그를 씌워 정규로 만들거나 ②정규를 가정하지 않는 방법을 씁니다(11강의 비모수).

값 하나를 바꿨을 뿐인데 평균은 100 배가 되고 중앙값은 <b>0.5 만 움직입니다</b>.

Python 브라우저에서 실행

# 꼬리 하나가 평균을 얼마나 끌어올리나
import numpy as np

# /tmb 가 낸 실제 요약값
n, median, mean = 566, 6.683, 10.022
q1, q3, mx = 2.733, 13.575, 69.533

print(f"TCGA-LUAD {n}명 (출처: /tmb 강의의 계산)")
print(f"  중앙값 {median:6.3f}")
print(f"  평균   {mean:6.3f}   <- 중앙값보다 {(mean/median-1)*100:.0f}% 크다")
print(f"  최댓값 {mx:6.3f}   <- 중앙값의 {mx/median:.1f} 배")
print()

# 왜 그렇게 되는지 - 값 하나를 옮겨 본다
xs = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10], dtype=float)
print("작은 예로 확인한다:", xs.astype(int).tolist())
print(f"  중앙값 {np.median(xs):.1f}   평균 {xs.mean():.1f}")
xs[-1] = 1000
print("마지막 값만 10 -> 1000 으로 바꾸면:")
print(f"  중앙값 {np.median(xs):.1f}   평균 {xs.mean():.1f}   <- 평균만 날아갔다")
print()
print("중앙값은 '순서' 만 본다. 평균은 '크기' 를 본다.")
print("그래서 꼬리가 긴 자료에서는 둘이 갈라진다.")

고등학생값 하나를 바꿨더니 평균이 100배

코드가 극적인 걸 보여 줍니다. 값 하나만 바꿨는데 —

	변화
평균	100배가 된다
중앙값	0.5만 움직인다

평균은 한 사람에게 인질로 잡힌다

'저항성' 이라는 말

중앙값처럼 극단값에 안 휘둘리는 성질을 저항성(robustness) 이라고 합니다.

저항성 있음	저항성 없음
중앙값	평균
사분위범위 (IQR)	표준편차 · 범위
순위 검정 (11강)	t 검정

그럼 항상 중앙값을 쓰면 되나

아닙니다. 평균에도 장점이 있어요.

계산이 쉽고 수학적으로 다루기 좋다
전체 합을 알 수 있다 (중앙값 × 사람 수 ≠ 총합)
자료가 종 모양이면 더 효율적이다

어느 것이 옳으냐가 아니라 무엇을 묻느냐다

실제로 어떻게 고르나

묻는 것	쓰는 것
"보통 사람은 어떤가"	중앙값
"전체로 보면 얼마인가"	평균 (총액이 필요할 때)
둘 다 궁금하다	둘 다 적는다 ← 가장 좋다

좋은 논문은 평균과 중앙값을 둘 다 적습니다. 그리고 그 차이가 크면 독자가 알아서 판단하죠.

흩어짐도 두 가지로 잴 수 있다

표준편차 σ

평균에서 떨어진 거리의 제곱을 평균낸 뒤 제곱근
→ 꼬리에 민감하다

사분위범위 IQR

3사분위 − 1사분위 = 13.58 − 2.73 = 10.84
→ 가운데 절반만 본다. 꼬리에 둔감하다

상자그림(box plot)이 IQR 을 쓰는 이유가 이것입니다. /viz 12강이 이 그림을 다룹니다.

고등학생그래서 그림을 먼저 그립니다

3강 전체를 한 문장으로 줄이면 이렇습니다.

숫자 하나로 줄이기 전에 분포를 보라

요약값만 보면 놓치는 것들

모양	평균이 말해 주나
오른쪽으로 늘어짐	못 한다 — 아무도 대표 못 함
봉우리가 둘	못 한다 — 가운데엔 아무도 없음
이상값 몇 개	못 한다 — 그쪽으로 끌려감

봉우리가 둘인 경우가 특히 무섭습니다

남학생과 여학생의 키를 합쳐서 평균을 냈다고 합시다. 평균은 남녀 사이 어딘가를 가리킵니다. 그런데 그 키인 사람은 별로 없어요.

두 무리가 섞여 있으면 평균은 아무도 없는 자리를 가리킨다

그리고 이걸 그림 없이는 알 수가 없습니다. 평균과 표준편차만 봐서는 종 모양인지 쌍봉인지 구별이 안 되거든요.

17강에서 다시 나옵니다

17강에 앤스컴의 사중주라는 유명한 예가 나옵니다 — 평균 · 표준편차 · 상관계수 · 회귀직선이 전부 같은데 그림은 완전히 다른 자료 네 벌이요.

요약값 넷이 같아도 그림은 전혀 다를 수 있다

그래서 순서가 이렇습니다 —

그린다
모양을 본다
그다음에 요약값을 고른다

거꾸로 하면 모양을 못 본 채 숫자만 남습니다.

🤔 확인 문제

어떤 유전자 발현값의 중앙값이 5, 평균이 40 이었습니다. 이 자료에 대해 가장 확실하게 말할 수 있는 것은?