5강 / 20강

중심극한정리 — 왜 평균은 늘 종 모양이 되나

재료가 무엇이든 평균을 내면 같은 모양으로 모인다

3강에서 본 변이부담 분포는 종 모양이 아니었습니다. 오른쪽으로 길게 늘어져 있었죠.

그런데도 통계 교과서는 정규분포(종 모양) 이야기만 합니다. 왜일까요?

개체는 종 모양이 아니어도, 평균은 종 모양이 되기 때문입니다. 그리고 우리가 검정하는 것은 거의 언제나 평균이에요.

고등학생재료가 무엇이든 평균은 종 모양

3강에서 변이부담 분포는 종 모양이 아니었습니다. 오른쪽으로 길게 늘어져 있었죠.

그런데 신기한 일이 벌어집니다.

그 자료에서 여러 개씩 뽑아 평균을 내면 — 종 모양이 된다

이게 중심극한정리입니다

고등학교에서 배우는 그 정리 맞습니다. 그런데 학교에서는 왜 놀라운지를 잘 안 알려 주죠.

놀라운 점 — 원래 자료가 무슨 모양이든 상관없다

원래 자료	평균을 내면
오른쪽으로 늘어진 것	종 모양
봉우리가 둘인 것	종 모양
완전히 평평한 것	종 모양

비유 — 어떤 재료를 넣어도 같은 반죽

믹서에 사과를 넣든 배를 넣든 당근을 넣든, 오래 갈면 결국 비슷한 걸쭉한 액체가 됩니다.

재료의 개성이 사라지는 거죠. 평균을 내는 것이 그런 일입니다 — 개별의 특성이 뭉개지고 공통의 모양만 남아요.

왜 이게 중요한가

이 정리 덕분에 원래 자료 모양을 몰라도 평균에 대해서는 이야기할 수 있습니다.

그래서 t 검정 같은 도구가 웬만하면 통한다

통계학이 실제로 쓸모 있게 된 가장 큰 이유입니다. 과장이 아니에요.

가장 오른쪽 열만 보세요. 재료가 무엇이든 <b>같은 모양</b>입니다.

Python 브라우저에서 실행

# 재료가 무엇이든 평균은 종 모양이 된다
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
rng = np.random.default_rng(5)

REP = 4000
sources = {
    "균등 (네모)":     lambda n: rng.random(n),
    "지수 (꼬리)":     lambda n: rng.exponential(1, n),
    "양극단 (0 또는 1)": lambda n: (rng.random(n) < 0.5).astype(float),
}

fig, axes = plt.subplots(3, 3, figsize=(9, 7))
for r, (name, draw) in enumerate(sources.items()):
    for c, n in enumerate([1, 5, 30]):
        means = np.array([draw(n).mean() for _ in range(REP)])
        axes[r][c].hist(means, bins=40)
        axes[r][c].set_yticks([])
        if r == 0: axes[r][c].set_title(f"n = {n}", fontsize=9)
        if c == 0: axes[r][c].set_ylabel(name, fontsize=7)
plt.tight_layout()
plt.show()

print("왼쪽 칸(n=1)은 재료 그대로다 - 셋이 전혀 다르다.")
print("오른쪽 칸(n=30)은 셋 다 종 모양이다.")
print()
print("'양극단' 줄을 보라. 0 아니면 1 밖에 없는 자료인데도")
print("서른 개씩 평균내면 매끄러운 종이 된다.")

고등학생가장 오른쪽 열만 보세요

코드가 격자를 그립니다. 캡션이 "가장 오른쪽 열만 보라" 고 하죠.

그림 읽는 법

	무엇
세로 (행)	재료 분포 — 서로 다른 모양
가로 (열)	몇 개씩 뽑아 평균 냈나 (n = 1, 2, 5, 30…)

왼쪽 끝은 제각각, 오른쪽 끝은 전부 종 모양

가장 왼쪽 열이 원래 자료입니다

n=1 은 "한 개 뽑아 평균" = 그냥 원래 값이죠. 그래서 왼쪽 끝은 재료 분포 그대로입니다.

오른쪽으로 갈수록 n 이 커지고, 모양이 수렴합니다.

n 이 몇부터 종 모양이 되나

흔히 "n ≥ 30" 이라고 배웁니다. 그런데 정확하지 않아요.

원래 자료가	필요한 n
이미 종 모양에 가까움	아주 작아도 된다 (n=5도)
조금 치우침	n=30 쯤
심하게 치우침	수백 개가 필요할 수도

"30이면 된다" 는 어림이지 규칙이 아니다

위젯에서 재료를 바꿔 가며 직접 확인해 보세요. 심하게 치우친 재료를 골라 n=30 으로 두면 아직 종 모양이 아닌 것을 볼 수 있습니다.

교과서의 어림값을 눈으로 반박해 보는 경험 — 이 강의가 주려는 것 중 하나입니다.

고등학생정리가 말하는 것과 말하지 않는 것

note 가 중요한 구별을 합니다. 오해가 아주 흔한 대목이에요.

정리가 말하는 것	말하지 않는 것
평균이 종 모양이 된다	원래 자료가 종 모양이 된다 (아님)
n 이 크면	n 이 작아도 (아님)
흩어짐이 유한할 때	어떤 분포든 (아님)

자료가 정규분포가 되는 게 아니다 — 평균이 그럴 뿐

이 오해가 왜 생기나

"중심극한정리 때문에 정규분포를 가정해도 된다" 는 말을 자주 듣습니다. 반은 맞고 반은 틀려요.

평균에 대한 추론은 괜찮습니다 ✔
낱낱 값이 정규분포라고 하면 안 됩니다 ✘

실제로 문제가 되는 곳

예를 들어 "상위 5% 는 몇 점 이상인가" 를 물으려면 낱낱 값의 분포가 필요합니다. 평균의 분포가 아니라요.

거기에 정규분포를 갖다 대면 틀립니다. 치우친 자료의 상위 5% 는 정규분포 예측보다 훨씬 큽니다.

평균을 물을 때와 개인을 물을 때는 다른 도구가 필요하다

그리고 n 이 작을 때

note 가 "n 이 작을 때가 진짜 위험한 구간" 이라고 합니다.

생물학 실험은 n=3~6 이 흔합니다. 생쥐 세 마리, 반복 세 번. 그 정도면 중심극한정리를 믿을 수 없습니다.

그래서 12강의 순열검정이 필요해집니다 — 가정을 아예 안 거는 방법이요.

n 이 몇이면 되나

"30이면 된다" 는 말이 자주 도는데, 그건 규칙이 아니라 어림입니다. 필요한 n 은 재료가 얼마나 찌그러졌느냐에 달렸어요.

재료	대략 필요한 n
이미 좌우 대칭	몇 개만 있어도 된다
적당히 치우침 (지수분포 같은)	수십
심하게 치우침 (꼬리가 매우 긴)	수백 이상
아주 드문 사건의 비율 (p 가 0 에 가까운)	사건 수가 열 개는 넘어야

마지막 줄이 실전에서 자주 걸립니다. 1000명 중 3명에게만 일어난 일이면 n 은 1000이어도 사건은 3개라 정규 근사가 무너집니다 — 그때 12강의 순열검정이나 정확검정으로 갑니다.

고등학생t 검정이 생각보다 잘 버팁니다

note 가 실용적인 이야기를 합니다.

t 검정은 정규분포를 가정하는데, 생각보다 잘 버틴다

'버틴다' 가 무슨 뜻인가

가정이 조금 어긋나도 결과가 크게 안 틀린다는 뜻입니다. 이런 성질을 강건성(robustness) 이라고 해요.

비유 — 우산의 방수 성능

우산은 비를 막으라고 만들었습니다. 그런데 가벼운 눈도 웬만큼 막아 주죠.

설계 조건이 아닌데도 어느 정도는 통합니다. 다만 폭설에는 안 되겠죠.

t 검정이 버티는 조건과 무너지는 조건

버틴다	무너진다
조금 치우친 자료	n 이 아주 작다 (3~5)
n 이 충분히 크다	극단값이 몇 개 있다
두 군 크기가 비슷하다	두 군 크기가 아주 다르다

n 이 작을 때가 진짜 위험한 구간이다

그래서 실전에서는

n 이 크고 조금 치우쳤다 → t 검정 써도 된다
n 이 작다 → 순열검정(12강)이나 비모수(11강)
극단값이 걱정된다 → 순위 검정이나 로그 변환

한 가지 주의

11강의 note 가 경고합니다 — 자료를 보고 검정을 고르면 안 됩니다.

"t 로 해 보고 p=0.07 이 나오니 비모수로 바꿔 0.04 를 얻는" 것은 p 해킹이에요. 자료를 보기 전에 정해 두는 것이 원칙입니다.

🤔 확인 문제

변이부담처럼 오른쪽으로 길게 늘어진 자료 566개가 있습니다. 중심극한정리가 보장하는 것은?