2강 / 20강

우연 — 한 번은 알 수 없고 여러 번은 알 수 있다

확률은 한 번의 일이 아니라 <b>되풀이의 성질</b>에 붙는 이름

동전을 한 번 던집니다. 앞면이 나올 확률이 0.5 라는 게 무슨 뜻일까요?

이 동전 던지기에서는 앞면이 나오거나 뒷면이 나옵니다. 0.5 개가 나오지는 않아요. 한 번만 보면 0.5 라는 수가 앉을 자리가 없습니다.

0.5 는 여러 번 던졌을 때 앞면의 비율이 다가가는 곳입니다. 확률은 한 사건의 성질이 아니라 되풀이의 성질이에요.

고등학생한 번은 알 수 없고 여러 번은 알 수 있다

부제가 이 강의의 전부입니다.

확률은 한 번의 일이 아니라 되풀이의 성질에 붙는 이름

무슨 뜻인가

동전을 한 번 던집니다. 앞면이 나올 확률 50%? 그런데 실제로는 앞면이 나오거나 뒷면이 나옵니다. 50%인 결과는 없어요.

50% 는 한 번에 대한 말이 아닙니다. 여러 번 던졌을 때의 비율에 대한 말이에요.

비유 — 일기예보의 강수확률 30%

"내일 비 올 확률 30%" 라는 말이 헷갈리죠. 비가 오거나 안 오거나 둘 중 하나인데요.

정확한 뜻은 이렇습니다 — "이런 날씨 조건이 100번 있었다면 그중 30번쯤 비가 왔다".

확률은 낱개가 아니라 무리에 붙는 말이다

이 구별이 앞으로 계속 나옵니다 — 7강의 신뢰구간, 15강의 q 값이 전부 같은 문제를 안고 있어요.

그래서 한 번의 결과로는 판단할 수 없습니다

어떤 검사가 "정확도 95%" 라고 합니다. 내가 검사를 받아 양성이 나왔어요. 내가 진짜 양성일 확률이 95%?

아닙니다. 그건 완전히 다른 계산이에요 (조건부확률 — 학교에서 배우는 그것입니다). 이 강의 9강에서 비슷한 함정을 다룹니다.

가로축이 로그입니다. 열 번으로는 아무것도 못 말하고, 천 번이면 꽤 말할 수 있습니다.

Python 브라우저에서 실행

# 여러 번 던지면 비율이 어디로 가나
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
rng = np.random.default_rng(7)

N = 5000
flips = rng.random(N) < 0.5
running = np.cumsum(flips) / np.arange(1, N + 1)

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(running, lw=1)
ax.axhline(0.5, ls="--", color="gray", lw=.9)
ax.set_xscale("log")
ax.set_xlabel("throws (log)")
ax.set_ylabel("proportion heads")
ax.set_ylim(0, 1)
plt.show()

for n in [1, 10, 100, 1000, 5000]:
    print(f"  {n:5d} 번 던진 뒤 앞면 비율 {running[n-1]:.3f}")
print()
print("초반에는 0 과 1 사이를 크게 흔들리다가 서서히 0.5 로 붙는다.")
print("확률 0.5 는 '이 한 번' 이 아니라 '이 곡선이 가는 곳' 의 이름이다.")

고등학생열 번으로는 못 말하고 천 번이면 말할 수 있다

코드가 동전을 여러 횟수로 던져 봅니다. 그리고 가로축이 로그예요(14강에서 왜 그런지 배웁니다).

결과가 말하는 것

던진 횟수	앞면 비율의 흔들림	말할 수 있나
10번	0.2~0.8 까지 왔다갔다	아무것도 못 말한다
100번	0.4~0.6	대략
1,000번	0.47~0.53	꽤 말할 수 있다

많이 던질수록 참값에 가까워진다 — 큰 수의 법칙

그런데 얼마나 빨리 가까워지나

여기가 중요합니다. 흔들림은 √n 에 반비례해서 줄어듭니다.

횟수를	흔들림은
4배로	절반으로
100배로	10분의 1로

즉 정확도를 두 배로 하려면 네 배를 던져야 합니다. 점점 비싸집니다.

√n 의 법칙 — 4강 · 6강에서 다시 만난다

이게 연구비 이야기가 됩니다

임상시험에서 환자를 두 배 정밀하게 재려면 네 배의 환자가 필요합니다. 돈도 네 배, 시간도 네 배죠.

그래서 "몇 명이 필요한가" 를 미리 계산합니다. 10강의 검정력이 그 이야기예요.

고등학생확률의 두 가지 얼굴

note 가 확률을 두 가지로 나눕니다. 알아 두면 헷갈림이 크게 줄어요.

	빈도로서의 확률	믿음으로서의 확률
뜻	되풀이했을 때의 비율	내가 얼마나 확신하나
예	동전 앞면 0.5	"내일 시험에 이게 나올 확률 70%"
되풀이 가능?	가능	불가능 (내일은 한 번뿐)

이 강의가 다루는 것은 앞쪽이다

왜 이 구별이 중요한가

p 값을 뒤집어 읽는 실수가 여기서 나오기 때문입니다.

p 값이 답하는 것 (빈도)	사람들이 알고 싶은 것 (믿음)
"차이가 없다면 이런 결과가 나올 확률"	"이 결과를 봤을 때 차이가 있을 확률"

둘은 완전히 다른 확률이다

비유 — 조건을 뒤집으면 안 된다

학교에서 배운 조건부확률로 생각해 보세요.

P(비가 온다 | 구름이 꼈다) — 구름 꼈을 때 비 올 확률
P(구름이 꼈다 | 비가 온다) — 비 올 때 구름 꼈을 확률 ≈ 1

두 값이 완전히 다르죠. p 값도 마찬가지예요. 조건과 결과를 뒤집으면 안 됩니다.

9강에서 이 이야기를 제대로 합니다. 지금은 "p 값은 뒤집어 읽으면 안 된다" 만 기억해 두세요.

독립 — 앞의 결과가 다음을 바꾸지 않는다

앞면이 다섯 번 연달아 나왔습니다. 다음은 뒷면이 나올 차례일까요?

아닙니다. 동전은 앞의 다섯 번을 기억하지 못합니다. 이것을 독립이라고 하고, 반대로 믿는 것을 도박사의 오류라고 합니다.

틀린 생각

"평균으로 돌아와야 하니까 이제 뒷면이 나올 차례다"
→ 동전에는 기억이 없다

실제로 일어나는 일

앞의 다섯 번은 그대로 남고, 뒤에 붙는 던지기가 많아지면서 묻힌다

비율이 0.5 로 가는 것은 보정이 아니라 희석입니다. 이 구별이 이 강의 내내 따라옵니다.

40만 번을 던져 확인합니다. '다음엔 뒷면' 은 어디에도 없습니다.

Python 브라우저에서 실행

# 앞면 다섯 번 뒤에는 정말 뒷면이 더 나오나
import numpy as np
rng = np.random.default_rng(3)

N = 400000
f = rng.random(N) < 0.5

# 앞면이 5연속으로 나온 바로 다음 던지기만 모은다
after = []
run = 0
for i in range(N - 1):
    run = run + 1 if f[i] else 0
    if run >= 5:
        after.append(f[i + 1])

after = np.array(after)
print(f"앞면 5연속 뒤의 던지기 {len(after):,d} 번")
print(f"  그중 앞면 {after.mean()*100:.2f}%")
print(f"  전체 앞면 비율 {f.mean()*100:.2f}%")
print()
print("차이가 없다. 동전은 앞의 다섯 번을 모른다.")

고등학생'다음엔 뒷면' 은 어디에도 없습니다

코드가 40만 번을 던져 확인합니다. 앞면이 연속으로 나온 뒤에 뒷면이 더 잘 나오나?

아니다 — 동전은 기억이 없다

도박사의 오류

이 착각에 이름이 붙어 있습니다 — 도박사의 오류 (gambler's fallacy). 이런 생각이에요.

"앞면이 다섯 번 연속 나왔으니 이제 뒷면이 나올 차례다."

틀렸습니다. 동전은 앞의 다섯 번을 기억하지 못합니다. 여섯 번째도 정확히 50% 예요.

그런데 왜 헷갈릴까

큰 수의 법칙과 헷갈리기 때문입니다. "많이 던지면 반반이 된다" 는 맞는 말이죠.

균형이 맞춰지는 게 아니라 묻히는 것이다

	10번 던진 뒤	1,000번 더 던진 뒤
앞면이 5번 더 많다면	비율 0.75	비율 0.505 — 거의 반반

5번의 차이는 그대로 남습니다. 다만 전체가 커져서 비율로는 안 보이게 되는 거예요.

실생활에서 조심할 곳

로또에서 "안 나온 번호" 를 고르는 것 — 소용없습니다
"올해 태풍이 적었으니 내년엔 많을 것" — 근거 없습니다
"이 반은 작년에 성적이 좋았으니 올해는 나쁠 것" — 다릅니다. 이건 평균으로의 회귀라는 진짜 현상이에요

세 번째는 조심하세요 — 비슷해 보이는데 다른 이야기입니다. 10강의 승자의 저주가 그 이야기예요.

🤔 확인 문제

어떤 검사의 위양성률이 5% 입니다. 이 말의 뜻으로 가장 정확한 것은?