벡터 — 화살표 하나를 숫자로 적기

지도를 보며 길을 알려 준다고 해 봅시다. "300미터"라고만 하면 부족하죠. "북동쪽으로 300미터"라고 해야 말이 됩니다. 얼마나(크기)와 어디로(방향)를 함께 말해야 하는 것들이 있어요. 바람, 힘, 속도, 화면 위 캐릭터의 이동 — 전부 그렇습니다.

이런 것을 벡터(vector)라고 부릅니다. 그림으로 그리면 화살표고, 숫자로 적으면 숫자 몇 개를 나란히 늘어놓은 것이에요.

셋은 같은 것을 다르게 본 것입니다. 화살표로 보면 직관이 생기고, 숫자로 적으면 컴퓨터가 계산할 수 있어요. 선형대수학은 이 둘을 계속 오갑니다.

가로로 3칸, 세로로 2칸 가는 화살표는 (3, 2) 라고 적습니다. 이 두 숫자를 그 벡터의 성분이라고 불러요.

🎮 화살표를 직접 잡아 보세요

아래 평면 위를 누르거나 끌어 보세요. 화살표가 따라오고, 그 화살표를 숫자로 적으면 어떻게 되는지 오른쪽에 나타납니다. 영벡터 (0, 0) 도 눌러 보세요 — 길이도 0이고 방향도 없지만, 어엿한 벡터입니다.

2차원을 넘어서

성분이 둘이면 평면 위의 화살표, 셋이면 공간 속의 화살표입니다. 각각 R², R³ 라고 씁니다. 그럼 넷은요?

그림으로는 못 그립니다. 하지만 규칙은 하나도 안 바뀝니다. 성분이 n개인 벡터들이 사는 곳을 Rⁿ 라고 쓰고, 길이는 여전히 "각 성분을 제곱해서 더하고 루트"입니다.

검색 엔진이 문장 하나를 768개의 숫자로 바꾸고, 추천 시스템이 영화 한 편을 50개의 숫자로 바꿉니다. 그것들이 전부 벡터예요. 그림이 안 그려질 뿐, 우리가 지금 배우는 것과 똑같은 것입니다.

어디서 출발하는지는 묻지 않는다

여기가 처음 배울 때 가장 헷갈리는 자리입니다. 벡터는 출발점을 기억하지 않습니다. 방향과 길이가 같으면 종이 위 어디에 그려도 같은 벡터예요.

서울에서 북동쪽으로 300미터나, 부산에서 북동쪽으로 300미터나 "북동쪽으로 300미터"라는 벡터로는 같은 것입니다. 그래서 보통은 편하게 원점에서 출발하는 것으로 그립니다.

반대로, 출발점이 중요한 것은 벡터가 아니라 점입니다. 같은 (3, 2) 라도 "원점에서 (3,2)까지 가는 화살표"로 읽으면 벡터, "평면 위의 자리"로 읽으면 점이에요. 선형대수학은 이 둘을 자유롭게 오갑니다.