연립일차방정식 — 같은 문제를 보는 세 가지 시선

중학교에서 이런 걸 풀었습니다.

답은 x = 2, y = 2. 그런데 이 문제를 보는 방법이 세 가지나 됩니다. 셋 다 같은 답을 주지만, 보이는 것이 완전히 다릅니다.

학교에서는 대개 첫 번째만 배웁니다. 하지만 미지수가 100개가 되면 "100차원 직선의 교점"은 상상이 안 돼요. 그때 살아남는 것이 두 번째와 세 번째입니다.

🎮 세 가지 결말

계수를 바꾸면서 해가 하나 · 없음 · 무수히 많음 세 경우를 다 만들어 보세요. 직선 두 개가 만나거나, 나란히 달리거나, 완전히 포개지는 세 가지 밖에 없습니다. 정확히 두 개의 교점 같은 건 있을 수 없어요.

왜 해가 둘일 수 없는가

짧은 증명을 볼까요. Ax = b 의 해가 두 개 있다고 합시다 — u 와 v. 그러면 Au = b 이고 Av = b 입니다.

해가 둘이면 자동으로 무한이 됩니다. 그래서 1개, 0개, ∞개 세 가지뿐이에요. 여기서 Aw = 0 인 w 가 열쇠 노릇을 했는데, 이 w 들의 모임에 15강에서 영공간이라는 이름을 붙여 줍니다.

행렬 방정식으로 적기

미지수가 100개면 식을 100줄 쓸 수 없습니다. 그래서 이렇게 압축합니다.

A 는 계수행렬, x 는 미지수 벡터, b 는 상수 벡터입니다. 그리고 계산할 때는 A 와 b 를 나란히 붙여 첨가행렬 [A | b] 로 씁니다. 세로줄 하나로 왼쪽과 오른쪽을 구분하는 거예요.

이제 방정식을 푸는 일은 이 표를 정해진 규칙에 따라 주무르는 일이 됩니다. 그 규칙이 11강 가우스 소거법이에요.