4강 / 20강

행렬 — 숫자를 줄 세워 담는 상자

행이 먼저, 열이 나중

벡터가 숫자를 한 줄로 늘어놓은 것이라면, 행렬(matrix)은 숫자를 네모나게 늘어놓은 것입니다. 엑셀 표와 똑같이 생겼어요.

A = [ [2, −1, 0],
       [4,  3, 5] ]

가로줄을 행(row), 세로줄을 열(column)이라고 부릅니다. 위 행렬은 행이 2개, 열이 3개니까 2×3 행렬이에요. 언제나 행을 먼저 말합니다.

칸 하나를 가리킬 때는 a₂₃ 처럼 씁니다 — 2행 3열, 값은 5입니다. 아래 첨자도 행이 먼저예요. 이 순서만 몸에 익히면 이 강의의 절반은 편해집니다.

고등학생숫자를 줄 세워 담는 상자

행렬은 숫자를 격자로 배열한 것입니다.

행이 먼저, 열이 나중 — 가로 먼저

기억하는 법

말	방향
행 (行)	가로 — "행렬" 의 앞글자
열 (列)	세로

영어로는 row(행)·column(column 은 기둥 — 세로)입니다. 기둥은 서 있죠.

m×n 행렬 = m행 n열 — 순서가 늘 이렇다

행렬을 보는 세 눈

눈	보는 것	쓰는 곳
숫자 표	성분 하나하나	계산
벡터의 모음	열들 · 행들	5강 ⭐
변환	공간을 옮기는 손	6강 ⭐

세 번째 눈을 갖는 것이 이 강의의 목표다

비유 — 엑셀 표

표	행렬
한 줄 = 한 사람	행
한 칸 = 한 항목	열

익숙한 표가 행렬입니다. 다만 연산이 정의돼 있어서 계산할 수 있죠.

1강의 그 이야기 — 연산이 생기면 다룰 수 있다

파이썬은 0부터 세지만, 수학은 1부터 셉니다. 한 칸 차이에 늘 주의하세요.

Python 브라우저에서 실행

# 파이썬에서 행렬은 '리스트의 리스트' 입니다 — 안쪽 리스트 하나가 한 행
A = [[2, -1, 0],
     [4,  3, 5]]

print("행의 개수:", len(A))
print("열의 개수:", len(A[0]))
print("크기:", f"{len(A)} x {len(A[0])}")
print()

# a23 = 2행 3열 — 파이썬은 0부터 세므로 A[1][2]
print("a23 =", A[1][2])
print("2행 전체:", A[1])
print("3열 전체:", [행[2] for 행 in A], "← 세로줄은 뽑아내야 보입니다")

🎮 칸을 눌러 이름을 확인해 보세요

칸을 누르면 그 칸이 몇 행 몇 열인지, 그 행과 열이 무엇인지 보여 줍니다. 전치 버튼도 눌러 보세요 — 행과 열이 통째로 뒤바뀝니다.

고등학생자주 만나는 행렬들

note 의 목록을 왜 특별한지와 함께.

이름	모양	하는 일
단위행렬 I	대각선만 1	아무것도 안 한다 — 1 같은 역할
영행렬	전부 0	전부 원점으로
대각행렬	대각선만	축마다 늘이기 ⭐
대칭행렬	Aᵀ = A	18강에서 특별해진다
직교행렬	열들이 직교·단위	회전 — 길이를 지킨다

대각행렬이 가장 다루기 쉽다 — 그래서 19강에서 그리로 바꾼다

왜 대각행렬이 쉬운가

연산	대각행렬에서
곱하기	대각 성분끼리 곱하면 끝
거듭제곱	대각 성분을 거듭제곱 ✔
역행렬	대각 성분의 역수

축들이 서로 간섭 안 한다 — 3강의 직교 이야기

19강의 대각화가 하는 일이 "어려운 행렬을 대각행렬처럼 만들기" 입니다.

전치 — 뒤집기

Aᵀ — 행과 열을 바꾼다

성질	—
(AB)ᵀ = BᵀAᵀ	순서가 뒤집힌다 ⚠
(Aᵀ)ᵀ = A	두 번 하면 원래

순서 뒤집힘은 9강의 (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ 과 같은 이유다

행렬끼리 더하기와 늘이기

덧셈과 스칼라배는 벡터와 똑같습니다 — 같은 자리끼리 더하고, 모든 칸에 같은 수를 곱하면 돼요. 조건은 하나, 덧셈은 크기가 같아야 합니다.

곱셈만은 전혀 다릅니다. 같은 자리끼리 곱하는 게 아니에요. 왜 그렇게 이상한 규칙이 되었는지는 7강에서 답합니다. 지금은 "행렬 곱은 나중에, 그리고 생각보다 깊은 이유가 있다" 정도만 알아 두세요.

전치는 표를 대각선으로 접어 뒤집는 일입니다.

Python 브라우저에서 실행

A = [[1, 2],
     [3, 4]]
B = [[5, 6],
     [7, 8]]

def 행렬덧셈(A, B):
    return [[a + b for a, b in zip(행A, 행B)] for 행A, 행B in zip(A, B)]

def 행렬스칼라배(k, A):
    return [[k * a for a in 행] for 행 in A]

def 전치(A):
    return [[행[j] for 행 in A] for j in range(len(A[0]))]

print("A + B =", 행렬덧셈(A, B))
print("3A    =", 행렬스칼라배(3, A))
print()
M = [[2, -1, 0], [4, 3, 5]]
print("M    =", M, f"({len(M)}x{len(M[0])})")
print("M^T  =", 전치(M), f"({len(전치(M))}x{len(전치(M)[0])})")

고등학생왜 하필 '행렬' 이라는 말일까

note 의 이 물음이 이름의 유래를 봅니다.

영어 matrix 는 라틴어로 "자궁 · 모체" 다

왜 그런 이름이

1850년 실베스터가 "행렬식이 태어나는 곳" 이라는 뜻으로 붙였습니다.

—	—
행렬식이 먼저 있었다	—
행렬은 그것을 담는 틀	나중에 이름이 붙었다

역사적으로 행렬식(8강)이 먼저였다 — 지금은 순서가 반대다

한자 "행렬"

글자	뜻
行	줄 · 가로줄
列	벌여 놓다 · 세로줄

"가로줄과 세로줄" — 모양을 그대로 부른 이름이다

6강에서 눈이 바뀝니다

지금은 숫자 표로 보이지만 6강 뒤에는 공간을 옮기는 손으로 보일 겁니다.

보는 눈	—
표	계산하기 편하다
변환	이해하기 편하다 ⭐

같은 대상을 다르게 보는 것이 이 강의의 핵심 훈련이다

1강의 세 가지 눈 이야기가 행렬에서도 되풀이됩니다.

행렬은 무엇을 담는가

행렬을 보는 방법은 여러 가지입니다. 어느 눈으로 보느냐에 따라 같은 표가 전혀 다른 것이 됩니다.

📋

데이터 표

한 행 = 한 사람

🧮

방정식 묶음

한 행 = 한 식

🔄

공간을 옮기는 손

한 열 = 기저가 가는 곳

초보와 고수를 가르는 것은 세 번째 눈입니다. "행렬은 표"라고만 생각하면 계산만 남고, "행렬은 변환"이라고 보면 뜻이 보여요. 6강에서 그 눈을 갖게 됩니다.

같은 행렬도 행으로 읽을 때와 열로 읽을 때 뜻이 달라집니다.

Python 브라우저에서 실행

# 같은 표를 두 눈으로 읽어 봅니다
성적 = [[90, 85, 70],    # 민수 : 국어, 영어, 수학
        [75, 95, 88]]    # 지현

과목 = ["국어", "영어", "수학"]
학생 = ["민수", "지현"]

print("[행으로 읽기 — 한 사람의 성적표]")
for 이름, 행 in zip(학생, 성적):
    print(f"  {이름}: {행}  평균 {sum(행)/len(행):.1f}")

print()
print("[열로 읽기 — 한 과목의 반 성적]")
for j, 과 in enumerate(과목):
    열 = [행[j] for 행 in 성적]
    print(f"  {과}: {열}  평균 {sum(열)/len(열):.1f}")

고등학생행렬의 크기를 늘 확인하는 습관

실전에서 가장 많은 오류가 크기에서 납니다.

A(m×n) · B(n×p) = 결과 (m×p) — 가운데가 맞아야 한다

기억하는 법

(m × n)(n × p) → (m × p)
     └───┘  안쪽이 같아야
  └─────────┘  바깥이 결과

안쪽이 맞물리고 바깥이 남는다

그래서 순서가 중요합니다

—	가능한가
(2×3)(3×4)	가능 → (2×4) ✔
(3×4)(2×3)	불가능 ⚠

AB 가 되어도 BA 는 안 될 수 있다 — 7강의 이야기

실전 요령

습관	—
계산 전에 크기를 적는다	—
코드에서 `.shape` 를 찍는다	`/dl` 19강의 조언 ⭐
오류가 나면 크기부터	대개 여기다

"차원 맞추기가 일의 절반" — 실무자들이 하는 말이다

브로드캐스팅 주의

NumPy 는 크기가 안 맞아도 알아서 늘려 줍니다.

—	—
편할 때	스칼라를 더할 때 ✔
위험할 때	의도치 않게 맞아 버린다 ⚠

(3,1) 과 (1,3) 을 더하면 (3,3) 이 된다 — 오류가 안 난다

오류가 안 나서 더 무섭습니다. 결과 크기를 확인하는 습관이 필요해요.

🤔 확인 문제

3 × 5 행렬이란?

🤔 확인 문제

A 가 2×3 행렬일 때 Aᵀ 의 크기는?

🤔 확인 문제

다음 중 단위행렬 I 에 대한 설명으로 맞는 것은?