18강 / 20강

고윳값과 고유벡터 — 흔들려도 안 도는 축

행렬의 성격이 드러나는 자리

6강에서 행렬은 공간을 휘게 하는 손이라고 했습니다. 거의 모든 화살표가 방향이 바뀌어요. 그런데 몇몇 특별한 방향은 방향이 그대로 있고 길이만 바뀝니다.

Av = λv (v ≠ 0)

이런 v 를 고유벡터, 그때의 배율 λ 를 고윳값이라 부릅니다. 독일어 eigen 은 "고유한, 자기만의"라는 뜻이에요 — 그 행렬이 자기만의 방식으로 아끼는 방향인 셈입니다.

왜 중요할까요? 고유벡터 방향에서 보면 행렬이 그냥 곱셈이 되기 때문입니다. 복잡한 변환이 방향마다 "몇 배"라는 숫자 하나로 단순해져요. 19·20강이 전부 이 성질 위에 세워집니다.

고등학생흔들려도 안 도는 축

6강에서 행렬은 공간을 휘게 하는 손이라고 했습니다.

그런데 방향이 안 바뀌는 벡터가 있다 — 고유벡터

정의

Av = λv — 변환해도 길이만 바뀌고 방향은 그대로

λ	무슨 일
λ > 1	그 방향으로 늘어난다
0 < λ < 1	줄어든다
λ = 0	뭉개진다 — 영공간 (15강)
λ < 0	뒤집힌다

고윳값이 배율, 고유벡터가 축이다

비유 — 회전하는 지구

—	—
모든 것이 움직인다	—
자전축만	제자리 ⭐

축을 찾으면 회전 전체를 이해한 것이다

비유가 깨지는 곳

회전은 실수 고유벡터가 없을 수 있습니다. 2차원 회전은 어떤 방향도 안 지켜지죠.

고유벡터가 없는 경우도 있다 — 그때는 복소수로 간다

고유벡터는 A 를 곱해도 같은 직선 위에 남습니다.

Python 브라우저에서 실행

def Ax(A, x): return [sum(a*xi for a, xi in zip(행, x)) for 행 in A]

A = [[2, 1],
     [1, 2]]

print("보통 벡터는 방향이 바뀝니다:")
for v in ([1, 0], [3, 1], [0, 1]):
    print(f"  A·{v} = {Ax(A, v)}")
print()
print("그런데 이 두 방향은:")
for v in ([1, 1], [1, -1]):
    Av = Ax(A, v)
    배율 = Av[0] / v[0] if v[0] != 0 else Av[1] / v[1]
    print(f"  A·{v} = {Av}  = {배율} x {v}   ← 방향 그대로!")
print()
print("고윳값 3 과 1, 고유벡터 (1,1) 과 (1,-1) 입니다")

🎮 고유축을 직접 찾아보세요

여러 화살표(옅은 선)와 그것들에 A 를 곱한 결과(진한 선)를 함께 그렸습니다. 둘이 같은 직선 위에 놓이는 방향이 고유방향이에요. 슬라이더로 시험 벡터를 돌려 사잇각이 0°가 되는 자리를 찾아보세요. "90° 회전"도 눌러 보세요 — 고유방향이 아예 없습니다.

고등학생고윳값 구하는 법

note 의 절차를 왜 그런지와 함께.

det(A − λI) = 0 — 8강의 행렬식이 여기서 쓰인다

왜 이 식이 나오나

단계	—
Av = λv	—
Av − λv = 0	—
(A − λI)v = 0	—
v ≠ 0 인 해가 있으려면	(A−λI) 가 납작해야 한다 ⭐
즉	det = 0 ✔

8강의 "det=0 이면 영공간이 크다" 를 거꾸로 쓴 것

그러면 다항식이 나옵니다

—	—
n×n 행렬	n차 방정식 — 특성방정식
근이	n 개 (복소수 포함, 중복 포함)

고윳값은 항상 n 개 있다 — 다만 복소수일 수 있다

⚠ 실무에서는 이렇게 안 구합니다

방법	—
특성방정식	5차 이상은 공식이 없다 ⚠
반복법 (QR 알고리즘)	수치적으로 안정 ✔

손으로는 2×2 · 3×3 만 — 나머지는 컴퓨터에게

유용한 검산

관계	—
고윳값의 합	= 대각합 (trace)
고윳값의 곱	= det

계산 결과를 바로 검산할 수 있다 — 실수를 잡는다

회전에는 왜 고유벡터가 없을까

평면을 90도 돌리면 모든 화살표가 방향이 바뀝니다. 방향이 그대로인 축이 있을 리가 없죠. 실제로 특성방정식을 풀면 λ² + 1 = 0 — 실수 해가 없습니다.

그런데 복소수까지 허용하면 λ = ±i 라는 답이 나옵니다. 허수가 "회전"과 관계있다는 유명한 사실이 여기서도 나타나요.

반대로, 대칭행렬(Aᵀ = A)은 실수 고윳값을 반드시 가지고, 게다가 고유벡터들이 서로 직교합니다. 이것을 스펙트럼 정리라고 해요. 공분산행렬·그래프의 인접행렬·물리의 관성텐서가 전부 대칭이라, 현실 문제에서는 이 좋은 경우를 자주 만납니다.

λ의 합 = 대각합, λ의 곱 = 행렬식. 검산에 꼭 쓰세요.

Python 브라우저에서 실행

import math

def 고윳값2(A):
    tr = A[0][0] + A[1][1]
    de = A[0][0]*A[1][1] - A[0][1]*A[1][0]
    판별식 = tr*tr - 4*de
    if 판별식 < 0:
        return None, tr, de, 판별식
    s = 판별식 ** 0.5
    return [(tr + s)/2, (tr - s)/2], tr, de, 판별식

보기 = {
    "대칭행렬":  [[2, 1], [1, 2]],
    "밀기":      [[1, 1], [0, 1]],
    "90도 회전": [[0, -1], [1, 0]],
    "대각행렬":  [[5, 0], [0, -2]],
}
for 이름, A in 보기.items():
    ls, tr, de, D = 고윳값2(A)
    if ls is None:
        print(f"{이름:>10}: 실수 고윳값 없음 (판별식 {D})")
    else:
        print(f"{이름:>10}: λ = {[round(v,4) for v in ls]}  "
              f"합={round(sum(ls),4)}(=tr {tr})  곱={round(ls[0]*ls[1],4)}(=det {de})")

고등학생고유벡터는 하나가 아닙니다

note 의 이 지적이 흔한 오해를 바로잡습니다.

v 가 고유벡터면 cv 도 고유벡터다

왜 그런가

A(cv) = c(Av) = c(λv) = λ(cv) ✔

—	—
고유벡터는 방향이다	길이는 상관없다

정확히는 고유공간이라는 부분공간이다 — 13강

그래서 관례

—	—
길이 1 로 정규화	표준적으로 그렇게 준다 ✔
여전히	부호는 둘 중 하나 — 라이브러리마다 다를 수 있다

PCA 결과의 부호가 뒤집혀 보이는 이유가 이것이다

중복 고윳값

—	—
같은 λ 에 고유벡터가 여럿	고유공간의 차원 ≥ 2
예 — 단위행렬	모든 벡터가 고유벡터 (λ=1)

아무것도 안 하는 변환은 모든 방향을 지킨다 — 당연하다

9강의 정리에 마지막 줄

—	—
A 가 가역 ⟺ 고윳값에 0 이 없다	✔

λ=0 이면 그 방향이 뭉개진다 → 되돌릴 수 없다 (15강)

9강에서 미뤄 둔 여덟 번째 줄이 드디어 채워졌습니다.

고윳값이 말해 주는 것

고윳값의 크기와 부호만 봐도 그 변환의 성격을 알 수 있습니다.

고윳값	그 방향에서 일어나는 일
λ > 1	늘어난다 — 반복하면 폭발한다
λ = 1	그대로 — 움직이지 않는 방향
0 < λ < 1	줄어든다 — 반복하면 사그라든다
λ = 0	0으로 뭉개진다 → 영공간! det A = 0
λ < 0	반대쪽으로 뒤집히며 늘거나 준다

네 번째 줄이 중요합니다 — λ = 0 이 고윳값이라는 것과 A 가 되돌릴 수 없다는 것은 같은 말입니다. 9강의 가역행렬 정리에 마지막 줄이 이렇게 채워졌어요.

거듭제곱법 — 가장 큰 고윳값을 찾는 가장 단순한 알고리즘.

Python 브라우저에서 실행

def Ax(A, x): return [sum(a*xi for a, xi in zip(행, x)) for 행 in A]
def 길이(v): return sum(x*x for x in v) ** 0.5

# 거듭제곱법 — 아무 벡터에 A 를 계속 곱하면 가장 큰 고윳값 방향으로 쏠립니다
A = [[2, 1],
     [1, 3]]
v = [1, 0]

print("A 를 반복해서 곱해 봅니다:")
이전 = None
for i in range(1, 9):
    Av = Ax(A, v)
    배율 = 길이(Av) / 길이(v)
    L = 길이(Av)
    v = [x / L for x in Av]
    print(f"  {i}회: 방향 {[round(x,5) for x in v]}   배율 {배율:.5f}")

print()
print("방향과 배율이 한 값으로 수렴합니다 — 그것이 가장 큰 고윳값과 그 고유벡터")
print("구글의 PageRank 가 쓰는 방법이 바로 이것입니다")

고등학생고유벡터가 말해 주는 것

18강을 마치며 왜 이걸 배우는지 봅시다.

고유벡터는 변환의 뼈대다 — 복잡한 것을 몇 축으로 설명한다

쓰이는 곳

분야	고유벡터가 하는 일
PCA	분산이 가장 큰 방향 ⭐
페이지랭크	웹의 중요도 — 구글의 시작
진동 해석	고유진동수 — 다리가 무너지는 주파수
양자역학	에너지 준위
미분방정식	해의 기본 모드

"자연스러운 축" 을 찾는 문제가 어디에나 있다

페이지랭크가 특히 재미있습니다

웹 페이지의 중요도를 고유벡터로 정의했어요.

—	—
"중요한 페이지가 링크하면 중요하다"	순환 정의
수학적으로	Av = v — 고유벡터 ✔

순환 정의가 고유벡터 방정식이 된다 — 아름다운 발상이다

공진의 위험

—	—
구조물의 고유진동수	—
같은 주파수로 흔들면	진폭이 커진다 ⚠

다리에서 발맞춰 걷지 말라는 이유가 이것이다

고윳값이 1보다 크면 반복할수록 커집니다. 19강에서 그 이야기를 합니다.

🤔 확인 문제

Av = λv 에서 v 가 만족해야 하는 조건은?

🤔 확인 문제

A = [[3,0],[0,-2]] 의 고윳값은?

🤔 확인 문제

λ = 0 이 A 의 고윳값이라면?

해설 Av = 0 인 0 아닌 v 가 있다는 뜻이니 영공간이 원점보다 큽니다. 즉 정보가 뭉개져 되돌릴 수 없어요 — det A = 0 입니다.