행렬 × 벡터 — 열들을 섞는 일

드디어 행렬과 벡터가 만납니다. Ax 는 이 강의에서 가장 자주 나오는 식이에요. 계산법은 간단합니다 — A 의 각 행과 x 의 내적을 차례로 적으면 됩니다.

여기서 크기 규칙이 하나 나옵니다. A 의 열의 수와 x 의 성분 수가 같아야 계산이 됩니다. (2×3 행렬) × (3차원 벡터) → 2차원 벡터. 가운데가 맞아떨어지고, 바깥이 결과의 크기가 돼요.

🎮 같은 계산, 두 가지 눈

아래 실험실에서 A 와 x 를 바꿔 보세요. 같은 답이 행으로 보는 방법과 열로 보는 방법 두 가지로 나옵니다. 그림에서는 파란·초록 화살표(A 의 두 열)를 x 만큼 늘여 더하면 주황 화살표가 되는 것을 볼 수 있어요.

계산은 행으로, 이해는 열로

두 눈은 각각 쓸모가 다릅니다.

행으로 보기는 계산할 때 편합니다. 한 행씩 내적하면 되니까요. 컴퓨터도 대개 이렇게 계산합니다.

열로 보기는 뜻을 볼 때 편합니다. "이 방정식이 풀릴까?"를 물을 때, 행으로 보면 숫자만 잔뜩 보이지만 열로 보면 "이 재료들로 목표를 만들 수 있나?"라는 질문이 됩니다.

시험 문제를 풀 때는 행으로, 무슨 일이 일어나는지 알고 싶을 때는 열로. 같은 식을 두 방향에서 읽을 수 있게 되면 선형대수학이 훨씬 쉬워집니다.

Ax = b 라는 질문

지금까지는 A 와 x 를 주고 b 를 구했습니다. 그런데 현실의 문제는 대개 반대예요. A 와 b 를 알고 x 를 찾습니다.

열의 눈으로 읽으면 이렇습니다 — "A 의 열들을 몇 번씩 섞어야 b 가 되는가?" 재료(열)와 목표(b)가 주어졌을 때 배합비(x)를 찾는 일이에요.

이 질문에는 세 가지 답이 있을 수 있습니다. 정확히 한 가지 배합만 되거나, 어떻게 해도 안 되거나, 배합법이 무수히 많거나. 10강에서 이 세 갈래를 갈라 봅니다. 그리고 11강에서 실제로 푸는 법을 배웁니다.