15강 / 20강

영공간과 열공간 — 해의 모양

랭크와 널리티를 더하면 열의 개수

행렬 A 를 하나 놓고 물을 수 있는 두 가지 근본적인 질문이 있습니다.

🎯

열공간 C(A)

Ax 로 도달할 수 있는 곳 전부

🕳️

영공간 N(A)

원점으로 뭉개지는 것 전부

열공간은 A 의 열들이 만드는 생성공간입니다 (5강의 '열의 눈' 기억나시죠). Ax = b 가 풀리려면 b 가 열공간 안에 있어야 합니다.

영공간은 Ax = 0 인 x 들의 모임입니다. 0 은 언제나 해이므로 영공간은 비어 있을 수 없고, 반드시 원점을 지납니다. 영공간이 원점 하나뿐이면 A 는 아무것도 뭉개지 않는다는 뜻이에요.

고등학생해의 모양

10강에서 살짝 본 것에 이름을 붙입니다.

공간	정의	답하는 물음
열공간	Ax 로 만들 수 있는 것	"해가 있나"
영공간	Ax = 0 인 x	"해가 유일한가"

두 공간이 존재와 유일성을 각각 답한다

열공간 — 존재

b 가 열공간에 있으면 해가 있다

5강의 "열들을 섞는다" 관점 그대로입니다. 만들 수 있는 것 전부가 열공간이에요.

영공간 — 유일성

영공간이	해는
{0} 뿐	유일 ✔
더 크다	무한히 많다

"더해도 안 변하는 것" 이 있으면 답이 여럿이다

비유 — 옷장 정리

—	—
열공간	이 옷들로 만들 수 있는 모든 코디
영공간	바꿔도 티가 안 나는 조합

"티가 안 나는 변화" 가 많으면 답이 여러 개인 것이다

열공간 = 도달 가능한 곳. 영공간 = 0 으로 사라지는 곳.

Python 브라우저에서 실행

def Ax(A, x): return [sum(a*xi for a, xi in zip(행, x)) for 행 in A]

A = [[1, 2, 3],
     [2, 4, 6]]

print("열들:", [[행[j] for 행 in A] for j in range(3)])
print("→ 세 열이 전부 (1,2) 방향입니다. 열공간은 '직선 하나'예요")
print()
print("무엇을 만들 수 있나:")
for x in ([1,0,0], [0,1,0], [1,1,1], [3,-1,2]):
    print(f"  A·{x} = {Ax(A, x)}")
print()
print("전부 (1,2) 의 배수입니다 — (1,0) 같은 b 는 절대 못 만듭니다")
print()
print("반대로 0 으로 뭉개지는 것:")
for x in ([-2,1,0], [-3,0,1], [1,1,-1]):
    print(f"  A·{x} = {Ax(A, x)}")

🎮 랭크와 널리티가 나눠 갖는다

A 를 바꿔 가며 랭크와 영공간 차원이 어떻게 움직이는지 보세요. 둘의 합은 언제나 열의 개수로 일정합니다. 한쪽이 커지면 다른 쪽이 정확히 그만큼 작아져요.

고등학생랭크-널리티 정리

note 의 이 정리가 이 강의에서 손꼽히는 결과입니다.

rank(A) + nullity(A) = 열의 개수

뜻으로 읽으면

부분	뜻
rank	살아남은 차원 — 전달된 정보
nullity	뭉개진 차원 — 잃어버린 정보
합	들어간 차원

"들어간 것 = 나간 것 + 잃은 것" — 보존 법칙이다

예로 확인하면

변환	rank	nullity	합
3차원 → 3차원 (가역)	3	0	3 ✔
3차원 → 평면에 정사영	2	1	3 ✔
전부 0 으로	0	3	3 ✔

눌린 만큼 정확히 영공간이 커진다

왜 이게 유용한가

하나를 알면	다른 것을 안다
랭크를 구했다	영공간 차원이 나온다 ✔

11강의 소거 한 번이 둘 다 준다 — 피벗과 자유변수

비유 — 에너지 보존

—	—
들어간 에너지	= 일 + 열로 손실

"어디로 갔는지" 를 전부 세면 맞아떨어진다 — 같은 성격의 법칙이다

해의 전체 모양 — 특수해 + 영공간

10강에서 살짝 봤던 것을 이제 이름을 붙여 정리합니다. Ax = b 의 해가 하나라도 있다면, 해 전체는 이렇게 생겼습니다.

x = x_특수 + (영공간의 아무 원소)

왜 그런지는 한 줄이면 됩니다. Ax₁ = b, Ax₂ = b 이면 A(x₁ − x₂) = 0 이니, 두 해의 차이는 반드시 영공간에 있습니다.

그림으로 보면 영공간을 통째로 x_특수 만큼 밀어 놓은 것이에요. 그래서 해집합은 원점을 안 지나는 직선이나 평면이 됩니다 (13강의 아핀 부분공간).

해 하나를 찾으면, 영공간을 더해 해 전부를 만들 수 있습니다.

Python 브라우저에서 실행

def Ax(A, x): return [sum(a*xi for a, xi in zip(행, x)) for 행 in A]

A = [[1, 1, 1],
     [1, 2, 3]]
b = [6, 14]

특수해 = [0, 4, 2]        # 눈으로 찾은 해 하나
영공간 = [1, -2, 1]       # A·(1,-2,1) = 0

print("특수해:", 특수해, "→", Ax(A, 특수해))
print("영공간:", 영공간, "→", Ax(A, 영공간), "← 0")
print()
print("모든 해 x = 특수해 + t·영공간:")
for t in (-2, -1, 0, 1, 2, 10):
    x = [특수해[i] + t*영공간[i] for i in range(3)]
    print(f"  t={t:>3}: x = {x}  → Ax = {Ax(A, x)}")
print()
print("해는 3차원 공간 속의 '직선' 하나입니다 (자유변수 1개)")

고등학생자유변수 고르기

note 의 이 요령이 영공간을 실제로 구하는 법입니다.

피벗이 없는 열의 변수 = 자유변수 — 마음대로 정한다

절차

단계	—
1	RREF 로 만든다 (11강)
2	피벗 열 / 자유 열을 가른다
3	자유변수를 하나씩 1, 나머지 0 으로
4	피벗 변수를 계산한다

자유변수 개수 = 영공간의 차원 = nullity ✔

왜 이렇게 하면 기저가 나오나

—	—
각 벡터에서 한 자유변수만 1	서로 독립이 보장된다 ⭐
자유변수 개수만큼	생성도 된다

14강의 기저 조건 둘이 저절로 만족된다

해를 쓰는 법

전체 해 = 특수해 + (자유변수)·(영공간 기저들)

부분	—
특수해	자유변수를 전부 0 으로 놓고 구한다
나머지	영공간 기저의 조합

10강의 "한 답 + 안 바뀌는 것들" 이 계산 절차가 되었다

비유 — 자유도

상황	—
미지수 5개 · 조건 3개	2개는 마음대로 정할 수 있다

"몇 개를 자유롭게 정할 수 있나" 가 곧 영공간 차원이다

왜 이 두 공간이 중요한가

이 둘은 Ax = b 라는 질문 전체를 두 조각으로 갈라 줍니다.

질문	답하는 공간
해가 있는가?	열공간 — b 가 그 안에 있으면 있다
해가 몇 개인가?	영공간 — 0뿐이면 하나, 아니면 무한

존재와 유일성이 완전히 다른 두 공간의 문제인 겁니다. 그리고 여기서 이 강의의 마지막 장면이 예고돼요 — b 가 열공간 밖에 있으면 어떡하나?

포기하지 않습니다. b 를 열공간 위로 정사영해서 가장 가까운 점을 찾고, 그것에 대한 해를 구하면 됩니다. 그것이 17강 최소제곱법이고, 데이터 분석과 기계학습이 매일 하는 일이에요.

해가 없다는 것은 b 가 열공간 밖에 있다는 것 — 기하로 보면 명확합니다.

Python 브라우저에서 실행

# 열공간 밖의 b — 해가 없는 경우를 확인해 봅시다
def Ax(A, x): return [sum(a*xi for a, xi in zip(행, x)) for 행 in A]

A = [[1, 0],
     [0, 1],
     [1, 1]]          # 3차원으로 가지만, 열공간은 '평면' 하나

print("A 의 열공간은 R³ 안의 평면입니다 (열이 2개, 독립)")
print("이 평면 위의 점은 언제나 (a, b, a+b) 꼴입니다:")
for x in ([1,0], [0,1], [2,3]):
    print(f"  A·{x} = {Ax(A, x)}")
print()

b1 = [1, 2, 3]        # 1+2=3 → 평면 위
b2 = [1, 2, 9]        # 1+2≠9 → 평면 밖
for b in (b1, b2):
    안에 = abs(b[0] + b[1] - b[2]) < 1e-9
    print(f"b = {b} → 열공간 {'안' if 안에 else '밖'} → 해가 {'있음' if 안에 else '없음'}")
print()
print("밖에 있으면? 17강에서 '가장 가까운 점'으로 답합니다")

고등학생네 공간이 그리는 그림

15강을 마치며 전체 구조를 봅시다.

A 는 ℝⁿ 을 둘로, ℝᵐ 을 둘로 나눈다

출발 (ℝⁿ)	도착 (ℝᵐ)
행공간 (차원 r)	→ 열공간 (차원 r) ⭐
영공간 (차원 n−r)	→ 0

행공간은 일대일로 열공간에 간다 — 나머지는 뭉개진다

이 그림이 말해 주는 것

사실	—
행공간 차원 = 열공간 차원	= r — 12강의 행랭크=열랭크 ✔
영공간이 크면	많이 뭉갠다
열공간이 작으면	도달 못 하는 b 가 많다

12강의 놀라운 사실이 이 그림에서는 당연해 보인다

그리고 직교

—	—
행공간 ⊥ 영공간	13강
열공간 ⊥ 왼쪽 영공간	—

공간이 직각으로 갈린다 — 16·17강의 무대다

비유 — 사진 촬영

3차원 세계	2차원 사진
가로·세로 방향	그대로 찍힌다 — 행공간
깊이 방향	사라진다 — 영공간 ⚠

무엇이 남고 무엇이 사라지는지가 변환의 성격이다

🤔 확인 문제

A 가 3×5 행렬이고 rank A = 2 일 때 영공간의 차원은?

해설 랭크-널리티 정리에 따라 rank + dim N(A) = 열의 개수 = 5 이므로 dim N(A) = 5 − 2 = 3 입니다.

🤔 확인 문제

Ax = b 에 해가 존재하려면?

해설 Ax 로 만들 수 있는 것이 열공간입니다. b 가 그 안에 있어야 도달할 수 있어요. A 가 정사각일 필요는 없습니다.

🤔 확인 문제

Ax = b 의 해가 x₀ 하나일 때, 영공간에 대해 알 수 있는 것은?