13강 / 20강

벡터공간과 부분공간 — 규칙을 지키는 자리들

왜 반드시 원점을 지나야 하는가

2강에서 벡터로 할 수 있는 일은 더하기와 늘이기 둘뿐이라고 했습니다. 그럼 질문을 뒤집어 봅시다 — 더하기와 늘이기가 잘 정의된 것이면 무엇이든 벡터로 볼 수 있을까요?

답은 "그렇다" 입니다. 그것이 벡터공간(vector space)이라는 생각이에요. 화살표든, 다항식이든, 함수든, 심지어 소리 신호든 — 2강 마지막에서 확인했던 여덟 가지 규칙만 지키면 전부 벡터입니다.

🏹

Rⁿ

화살표들

📈

다항식

x² + 3x − 1 …

🎵

함수·신호

더하고 키울 수 있다

이것이 추상화의 힘입니다. Rⁿ 에서 증명한 정리가 다항식에도, 함수에도 공짜로 적용돼요. 한 번 증명하고 여러 곳에서 씁니다.

고등학생규칙을 지키는 자리들

2강에서 벡터로 할 수 있는 일은 둘뿐이라고 했죠.

그 두 연산이 닫혀 있는 곳 — 그게 벡터공간이다

"닫혀 있다" 는 것

조건	뜻
더하면	여전히 그 안에 있다
늘이면	여전히 그 안에 있다

밖으로 나가지 않으면 그 안에서 계산이 완결된다

왜 이게 중요한가

배운 도구를 전부 쓸 수 있기 때문입니다.

—	—
벡터공간이면	기저 · 차원 · 랭크가 전부 통한다 ✔

"규칙을 지키는가" 만 확인하면 이론 전체를 쓸 수 있다

비유 — 놀이터의 규칙

—	—
놀이터 안에서 뛰면	여전히 놀이터
담을 넘으면	다른 세계 — 규칙이 다르다

안에서 무엇을 해도 안에 있는 것 — 그게 닫힘이다

이 추상화 덕에 함수도 벡터가 될 수 있습니다. 곧 보게 됩니다.

계수를 적으면 다항식이 곧 벡터가 됩니다.

Python 브라우저에서 실행

# 다항식도 벡터입니다 — 계수만 적으면 됩니다
# 2x² + 3x - 1  →  [-1, 3, 2]   (상수항, x, x² 순서)

def 더하기(a, b): return [x + y for x, y in zip(a, b)]
def 늘이기(k, a): return [k * x for x in a]
def 보기(p):
    항 = []
    for i, c in enumerate(p):
        if c == 0: continue
        항.append(f"{c}" if i == 0 else (f"{c}x" if i == 1 else f"{c}x^{i}"))
    return " + ".join(reversed(항)) or "0"

p = [-1, 3, 2]     # 2x^2 + 3x - 1
q = [5, 0, -1]     # -x^2 + 5

print("p =", 보기(p))
print("q =", 보기(q))
print("p + q =", 보기(더하기(p, q)))
print("3p    =", 보기(늘이기(3, p)))
print()
print("2차 이하 다항식은 3차원 벡터공간입니다 — 기저는 {1, x, x²}")

🎮 이것은 부분공간일까

부분공간(subspace)은 벡터공간 안의, 그 자체로도 벡터공간인 부분입니다. 확인할 것은 세 가지뿐이에요. 아래에서 판정 연습을 해 보세요.

고등학생부분공간의 세 조건

note 의 세 조건을 왜 그것인지와 함께.

조건	확인
0 을 포함	원점을 지나나
덧셈에 닫힘	u+v 도 안에 있나
스칼라배에 닫힘	cv 도 안에 있나

사실 세 번째가 첫 번째를 함의한다 — c=0 이면 0 이니까

왜 반드시 원점을 지나야 하나

부제의 물음입니다. 답은 스칼라배 때문이에요.

—	—
v 가 있으면	0·v = 0 도 있어야 ✔

원점을 안 지나는 직선은 부분공간이 아니다

확인해 보면

집합	부분공간인가
원점을 지나는 직선	맞다 ✔
원점을 안 지나는 직선	아니다 ⚠
원점을 지나는 평면	맞다 ✔
제1사분면	아니다 — 음수배가 나간다

6강의 "평행이동은 일차변환이 아니다" 와 같은 이유다

그럼 10강의 해집합은

—	—
Ax = 0 의 해집합	부분공간 ✔ — 영공간 (15강)
Ax = b (b≠0) 의 해집합	아니다 — 평행이동된 것

10강의 "특수해 + 영공간" 이 정확히 그 모양이었다

왜 원점을 지나야 할까

스칼라배에 닫혀 있어야 하는데, 0을 곱하는 것도 스칼라배입니다. 집합 안에 벡터 v 가 하나라도 있으면 0·v = 0 도 반드시 있어야 해요.

이 조건이 까다로워 보이지만, 덕분에 모든 것이 단순해집니다. 부분공간은 언제나 원점을 지나므로, "어디에 있는가"가 아니라 "어느 방향으로 얼마나 펼쳐졌는가"만 물으면 됩니다. 그 답이 차원이에요.

그럼 Ax = b (b ≠ 0) 의 해집합은요? 원점을 안 지나니 부분공간이 아닙니다. 대신 부분공간을 옆으로 밀어 놓은 것이에요 — 이런 걸 아핀 부분공간이라 부릅니다. 10강에서 본 "특수해 + 영공간"이 정확히 그 모양이었습니다.

0을 곱해 보는 것이 가장 빠른 반례 찾기입니다.

Python 브라우저에서 실행

def 스칼라배닫힘(원소들, 후보들):
    for v in 후보들:
        for k in (-1, 0, 2, 0.5):
            w = tuple(round(k*x, 6) for x in v)
            if not 원소들(w):
                return False, v, k, w
    return True, None, None, None

# 1사분면 { x >= 0, y >= 0 } 은 부분공간일까?
사분면 = lambda v: v[0] >= 0 and v[1] >= 0
ok, v, k, w = 스칼라배닫힘(사분면, [(1, 2), (3, 0)])
print("1사분면:", "부분공간" if ok else f"아님 — {v} 에 {k} 를 곱하면 {w} 로 나갑니다")

# 원점을 지나는 직선 { t(1,2) } 는?
직선 = lambda v: abs(v[1] - 2*v[0]) < 1e-9
ok, v, k, w = 스칼라배닫힘(직선, [(1, 2), (-3, -6)])
print("y=2x 직선:", "부분공간" if ok else f"아님 — {v}, {k}")

# 원점을 안 지나는 직선 { y = 2x + 1 } 은?
직선2 = lambda v: abs(v[1] - 2*v[0] - 1) < 1e-9
print("y=2x+1 직선:", "부분공간" if 직선2((0, 0)) else "아님 — 원점 (0,0) 이 들어 있지 않습니다")

고등학생함수도 벡터라면

note 의 이 이야기가 추상화의 힘을 보여 줍니다.

더하고 늘일 수 있으면 — 무엇이든 벡터다

함수를 확인해 보면

연산	정의	되나
더하기	(f+g)(x) = f(x)+g(x)	✔
늘이기	(cf)(x) = c·f(x)	✔

함수들의 모임이 벡터공간이다 — 무한 차원이지만

그러면 배운 것이 전부 통합니다

개념	함수 세계에서
기저	1, x, x², … (다항식)
내적	∫f(x)g(x)dx ⭐
직교	적분이 0
정사영	푸리에 급수 ⭐

푸리에 변환이 16강 정사영이다 — 놀라운 연결

푸리에가 하는 일

어떤 소리를 사인·코사인 함수들로 분해합니다.

—	선형대수로
사인·코사인	정규직교기저
각 성분의 크기	내적 = 정사영

MP3 압축이 이 위에 서 있다 — 작은 성분을 버린다

추상화의 값어치

—	—
화살표에서 배운 것이	함수·신호·이미지에 통한다 ✔

"규칙만 지키면 같은 것" — 그래서 한 번 배우면 여러 곳에 쓴다

행렬이 만드는 네 개의 부분공간

행렬 A 하나만 있으면 부분공간이 네 개 생깁니다. 15강에서 앞의 둘을 자세히 볼 텐데, 여기서 이름만 미리 봐 둡시다.

이름	정의	어디에 사나
열공간 C(A)	Ax 로 만들 수 있는 것 전부	Rᵐ
영공간 N(A)	Ax = 0 인 x 전부	Rⁿ
행공간 C(Aᵀ)	행들의 선형결합 전부	Rⁿ
좌영공간 N(Aᵀ)	Aᵀy = 0 인 y 전부	Rᵐ

이 넷의 관계가 선형대수학의 뼈대입니다. 특히 행공간과 영공간이 서로 직교하고, 열공간과 좌영공간이 서로 직교해요. 16강 정사영과 17강 최소제곱법이 이 직교 관계 위에 세워집니다.

Ax = 0 은 사실 '모든 행과 직교하라'는 조건이었습니다.

Python 브라우저에서 실행

# 행공간과 영공간이 직교한다는 것을 확인해 봅시다
def Ax(A, x): return [sum(a*xi for a, xi in zip(행, x)) for 행 in A]
def 내적(a, b): return sum(x*y for x, y in zip(a, b))

A = [[1, 2, 3],
     [2, 4, 6]]

# Ax = 0 인 x 를 몇 개 찾습니다 (영공간)
영공간원소 = [[-2, 1, 0], [-3, 0, 1]]
for x in 영공간원소:
    print(f"A·{x} = {Ax(A, x)}")
print()

print("영공간의 원소는 A 의 모든 행과 직교합니다:")
for i, 행 in enumerate(A):
    for x in 영공간원소:
        print(f"  {행} · {x} = {내적(행, x)}")
print()
print("당연합니다 — Ax = 0 이라는 말 자체가 '모든 행과의 내적이 0' 이니까요")

고등학생네 가지 기본 부분공간

13강을 마치며 15강의 예고를 봅시다.

공간	무엇	어디에
열공간	Ax 로 만들 수 있는 것 전부	ℝᵐ
영공간	Ax=0 인 x	ℝⁿ
행공간	행들의 생성	ℝⁿ
왼쪽 영공간	Aᵀy=0 인 y	ℝᵐ

앞의 둘이 실무에서 가장 중요하다 — 15강에서 다룬다

놀라운 직교 관계

—	—
행공간 ⊥ 영공간	ℝⁿ 을 둘로 나눈다 ⭐
열공간 ⊥ 왼쪽 영공간	ℝᵐ 을 둘로

공간이 깨끗하게 갈린다 — 선형대수의 기본 정리

왜 직교인가

Ax=0 은 "모든 행과 x 의 내적이 0" 이라는 뜻입니다.

—	—
영공간의 x 는	모든 행과 직교 ✔

정의를 내적으로 읽으면 직교가 저절로 나온다 — 3강

이 구조가 17강의 근거입니다

16강 정사영과 17강 최소제곱법이 이 직교 관계 위에 세워집니다.

—	—
b 를 열공간에 정사영	= 가장 가까운 답 ⭐
오차는 열공간에 직교	= 왼쪽 영공간에 있다

추상적인 구조가 실전 계산을 낳는다

🤔 확인 문제

다음 중 R² 의 부분공간이 아닌 것은?

해설 x + y = 1 에는 원점 (0,0) 이 들어 있지 않습니다 (0+0=0≠1). 원점을 지나지 않으면 부분공간이 아니에요. 부분공간을 옆으로 민 '아핀 부분공간'입니다.

🤔 확인 문제

부분공간임을 보이려면 확인해야 할 것은?

🤔 확인 문제

2차 이하 다항식 전체 {ax² + bx + c} 의 차원은?

해설 기저가 {1, x, x²} 세 개이므로 3차원입니다. 다항식 하나를 (c, b, a) 라는 3차원 벡터로 적을 수 있어요 — R³ 와 똑같이 다룰 수 있습니다.