역행렬 — 되감기 단추

수의 세계에서 5를 곱했으면 1/5 을 곱해 되돌립니다. 행렬에서 그 역할을 하는 것이 역행렬 A⁻¹ 예요.

변환의 눈으로 보면 명확합니다 — A 가 공간을 비틀었다면, A⁻¹ 은 정확히 그 반대로 비틀어 원래대로 돌려놓습니다. 90도 돌렸으면 −90도 돌리고, 2배 늘였으면 절반으로 줄이는 식이죠.

2×2 행렬의 역행렬 공식은 짧습니다.

대각선은 자리를 바꾸고, 나머지 둘은 부호를 바꾸고, 전체를 행렬식으로 나눕니다. 그런데 여기서 중요한 것이 보입니다 — det A 가 0 이면 나눌 수가 없어요.

🎮 되돌아오는지 직접 보기

x 를 끌면 Ax 가 따라 움직이고, A⁻¹ 을 다시 곱한 화살표가 원래 x 와 겹치는지 확인할 수 있습니다. "det = 0" 버튼을 누르면 무슨 일이 벌어지는지도 꼭 보세요 — 모든 화살표가 한 직선 위로 모여 버립니다.

역행렬로 방정식 풀기 — 그리고 그러면 안 되는 이유

Ax = b 의 양변에 A⁻¹ 을 곱하면 x = A⁻¹b 입니다. 아름다운 공식이죠. 그런데 실제 계산에서는 이렇게 풀지 않습니다.

이유는 둘입니다. 첫째, 느립니다 — 역행렬을 통째로 구하는 것은 소거법으로 바로 푸는 것보다 서너 배 비쌉니다. 둘째, 부정확합니다 — 나눗셈이 많이 들어가 반올림 오차가 쌓입니다.

그래서 numpy 조차 inv(A) @ b 대신 solve(A, b) 를 쓰라고 권합니다. 역행렬은 이론을 적을 때 쓰는 언어이지, 계산 절차가 아니에요.

가역이라는 말의 여러 얼굴

정사각행렬 A 에 대해, 아래 문장들은 전부 같은 말입니다. 하나가 참이면 나머지도 전부 참이고, 하나가 거짓이면 전부 거짓이에요. 이것을 가역행렬 정리라고 부릅니다.

이 목록이 이 강의의 지도입니다. 지금은 낯설어도, 20강까지 가면 이 문장들이 한 가지 사실을 일곱 가지 말로 한 것임을 알게 됩니다.