벡터 연산 — 더하기, 늘이기, 그리고 섞기

벡터로 할 수 있는 일은 놀랄 만큼 적습니다. 딱 두 가지예요.

① 더하기 — 화살표 두 개를 이어서 걷습니다. (3, 1) 만큼 가고 이어서 (1, 2) 만큼 가면, 결국 (4, 3) 만큼 간 셈이죠. 성분끼리 더하면 됩니다.

② 늘이기(스칼라배) — 화살표를 몇 배로 늘이거나 줄입니다. 2를 곱하면 두 배로 길어지고, −1을 곱하면 정확히 반대 방향이 됩니다. 여기서 '스칼라'는 그냥 보통 숫자 하나를 부르는 말이에요.

선형대수학이 다루는 것은 정말로 이 둘뿐입니다. 이 둘을 섞어 만든 것을 선형결합(linear combination)이라 부르고, 앞으로 20강 내내 이 말이 나옵니다.

🎮 두 화살표로 어디까지 갈 수 있을까

계수 a, b 를 돌리면 a·u + b·v 가 어디로 가는지 보입니다. 지나간 자리에는 옅은 점이 남아요. 두 벡터가 평행하지 않을 때와 평행할 때가 어떻게 다른지 꼭 비교해 보세요.

표준기저 — 가장 쓸모없어 보이는 두 화살표

i = (1, 0) 과 j = (0, 1). 오른쪽으로 한 칸, 위로 한 칸. 너무 당연해서 시시해 보이지만, 이 둘의 선형결합으로 평면의 모든 벡터를 만들 수 있습니다.

다시 보면 놀라운 일입니다. (3, 2) 라고 쓸 때 그 3과 2는 이미 "i를 3번, j를 2번"이라는 뜻이었어요. 우리는 처음부터 선형결합으로 좌표를 적고 있었던 겁니다.

그리고 i, j 만이 유일한 선택은 아닙니다. 평행하지 않은 두 벡터라면 어떤 쌍이든 평면 전체를 만들 수 있어요. 좌표계를 갈아 끼울 수 있다는 이 사실이, 19강 대각화에서 결정적인 무기가 됩니다.

왜 하필 이 두 연산일까

더하기와 늘이기만 허용한다는 것은 제약처럼 보입니다. 왜 곱하거나 제곱하면 안 될까요?

답은 뒤집혀 있습니다. 이 둘만 쓰기로 정했더니 엄청나게 많은 것을 알 수 있게 된 것이에요. 이 규칙만 지키는 세상에서는 방정식이 반드시 계단 꼴로 풀리고(11강), 해의 모양이 점·직선·평면 중 하나로 정해지고(15강), 컴퓨터가 수십만 개의 미지수를 안심하고 풀 수 있습니다.

세상에는 이 규칙을 안 지키는 문제가 훨씬 많아요. 그래서 사람들은 그런 문제를 만나면 어떻게든 선형으로 근사하려고 합니다. 미분이 하는 일이 정확히 그거고, 신경망이 하는 일도 결국 "선형변환 + 살짝 구부리기"의 반복입니다.