6강 / 20강

일차변환 — 행렬은 공간을 옮기는 손

격자가 휘어도 평행선은 평행

지금까지 Ax 를 "A 와 x 를 곱한 결과"로 봤습니다. 이제 눈을 하나 바꿔 봅시다. A 는 x 를 받아 다른 벡터를 내놓는 기계입니다. 입력이 있고 출력이 있으니, 이것은 함수예요.

x → Ax

그런데 아무 함수나 되는 게 아닙니다. 행렬로 표현되는 함수는 두 가지 규칙을 반드시 지킵니다.

① A(u + v) = Au + Av — 더한 뒤 옮기나, 옮긴 뒤 더하나 같다

② A(kv) = k(Av) — 늘인 뒤 옮기나, 옮긴 뒤 늘이나 같다

이 둘을 지키는 변환을 일차변환(linear transformation)이라고 합니다. 그리고 놀랍게도 그 역도 성립해요 — 이 둘을 지키는 변환은 반드시 행렬로 적힙니다.

고등학생격자가 휘어도 평행선은 평행

일차변환의 기하적 특징을 한 줄로 말한 것이 부제입니다.

직선은 직선으로, 평행선은 평행으로, 원점은 원점으로

무엇이 변하고 무엇이 안 변하나

변한다	안 변한다
길이	직선인 것
각도	평행 관계
넓이	원점
—	등간격

격자가 기울고 늘어나도 여전히 격자다

비유 — 고무판

격자가 그려진 고무판을 잡아당깁니다.

동작	결과
고르게 당긴다	격자가 기울어진 격자 ✔
구겨 버린다	격자가 깨진다 — 선형이 아니다 ⚠

"고르게" 가 선형의 조건이다 — 어디서나 같은 정도로

일차변환의 종류

변환	하는 일
회전	돌린다 — 길이 유지
확대·축소	늘인다
전단	기울인다
정사영	납작하게 만든다 — 16강
반사	뒤집는다

전부 행렬 하나로 표현된다 — 그리고 곱하면 이어진다 (7강)

이 두 규칙이 '선형'이라는 말의 정확한 뜻입니다.

Python 브라우저에서 실행

def Ax(A, x): return [sum(a*xi for a, xi in zip(행, x)) for 행 in A]
def 더하기(a, b): return [p+q for p, q in zip(a, b)]
def 늘이기(k, a): return [k*p for p in a]

A = [[2, 1], [0, 3]]
u, v = [1, 2], [3, -1]

print("A(u+v) =", Ax(A, 더하기(u, v)))
print("Au+Av  =", 더하기(Ax(A, u), Ax(A, v)), "← 같습니다")
print()
print("A(5u)  =", Ax(A, 늘이기(5, u)))
print("5(Au)  =", 늘이기(5, Ax(A, u)), "← 같습니다")
print()
# 영벡터는 반드시 제자리에 남습니다
print("A·0    =", Ax(A, [0, 0]), "← 일차변환은 원점을 절대 옮기지 않습니다")

🎮 공간이 어떻게 휘는지 보세요

격자 전체가 어떻게 일그러지는지, 그리고 집 모양이 어떻게 변하는지 봅니다. 회전·확대·반사·밀기를 눌러 보고, A 의 숫자도 직접 고쳐 보세요. 격자가 아무리 휘어도 평행선은 여전히 평행하고, 원점은 늘 제자리라는 것을 확인해 보세요.

고등학생행렬의 열 = 기저가 가는 곳

note 의 이 문장이 변환과 행렬을 잇는 다리입니다.

A 의 첫 열 = (1,0) 이 어디로 가는가

왜 그런가

5강의 열 관점으로 보면 —

계산	결과
A(1,0)	1·(첫 열) + 0·(둘째 열) = 첫 열 ✔
A(0,1)	둘째 열

행렬을 읽으면 변환이 보인다 — 열이 곧 목적지다

그래서 행렬을 직접 만들 수 있습니다

"90° 회전" 행렬을 만들어 봅시다.

기저	90° 돌리면
(1,0)	(0,1)
(0,1)	(−1,0)

그 둘을 열로 놓으면 회전 행렬이다 ✔

공식을 외우지 않아도 그림으로 만들 수 있습니다.

왜 기저만 알면 충분한가

2강의 선형성 때문입니다.

—	—
모든 벡터는 기저의 조합	—
변환은 조합을 지킨다	→ 기저의 행선지만 알면 전부 안다 ✔

두 점만 정하면 공간 전체의 운명이 정해진다 — 선형의 힘이다

비유 — 안무의 기본 동작

기본 스텝 두 개만 정하면 그 조합으로 전체 안무가 정해집니다.

기본만 보면 나머지가 예측된다

직접 만들어 보는 변환 행렬

"90도 회전"의 행렬을 외울 필요가 없습니다. 그림을 그려 보면 나와요.

i = (1, 0) 을 90도 돌리면 위로 서서 (0, 1) 이 됩니다. j = (0, 1) 을 90도 돌리면 왼쪽으로 누워 (−1, 0) 이 되고요. 이 둘을 열로 세우면 그게 회전행렬입니다.

R = [ [0, −1], [1, 0] ]

x축 반사는? i 는 그대로 (1, 0), j 는 뒤집혀 (0, −1). 그러니 [[1, 0], [0, −1]] 입니다. 외울 게 없어요.

회전행렬을 외우지 말고 i 와 j 의 행선지로 만들어 보세요.

Python 브라우저에서 실행

import math

def 회전행렬(각도):
    r = math.radians(각도)
    # i 는 (cos, sin) 으로, j 는 (-sin, cos) 으로 갑니다 — 그걸 열로 세웁니다
    return [[math.cos(r), -math.sin(r)],
            [math.sin(r),  math.cos(r)]]

def Ax(A, x): return [round(sum(a*xi for a, xi in zip(행, x)), 6) for 행 in A]

for 각 in (0, 45, 90, 180):
    R = 회전행렬(각)
    print(f"{각:>3}도 회전 → i 는 {Ax(R, [1,0])} 로, j 는 {Ax(R, [0,1])} 로")

print()
R90 = 회전행렬(90)
print("(3, 1) 을 90도 돌리면", Ax(R90, [3, 1]))
print("네 번 돌리면 제자리:", Ax(R90, Ax(R90, Ax(R90, Ax(R90, [3, 1])))))

고등학생평행이동은 일차변환이 아닙니다

note 의 이 경고가 중요한 구분입니다.

일차변환은 원점을 원점으로 보낸다 — 평행이동은 안 그렇다

확인해 보면

조건	평행이동 f(x) = x + t
f(0) = 0	f(0) = t ≠ 0 ⚠
f(u+v) = f(u)+f(v)	u+v+t ≠ u+t+v+t ⚠

둘 다 어긴다 — 행렬로 쓸 수 없다

그런데 컴퓨터 그래픽에서는 필요합니다

물체를 옮기는 것은 기본 동작이잖아요.

해결	—
차원을 하나 늘린다	동차좌표 ⭐

(x, y) 를 (x, y, 1) 로 쓰면 평행이동도 행렬이 된다

왜 통하나

3차원에서의 기울이기가 2차원 단면에서는 평행이동처럼 보입니다.

차원	보이는 것
3차원에서	원점을 지나는 선형 변환
z=1 단면에서	평행이동 ✔

차원을 올리면 비선형이 선형이 되는 일이 종종 있다

이 발상이 여러 곳에

분야	—
그래픽스	동차좌표 — 4×4 행렬
`/ml` SVM	커널 트릭 — 차원을 올려 선형으로
회귀	절편을 1 열로 넣는다 (17강)

"안 되면 차원을 하나 늘려 본다" — 수학의 오래된 요령이다

왜 이 눈이 중요한가

"행렬은 표"라고만 생각하면 Ax 는 그냥 계산 절차입니다. "행렬은 변환"이라고 보면 갑자기 여러 질문이 그림으로 바뀝니다.

계산으로 보면	변환으로 보면
det A = 0	공간이 납작하게 눌렸다 (8강)
A⁻¹ 가 없다	눌린 것을 되돌릴 수 없다 (9강)
Ax = 0 의 해	원점으로 뭉개진 방향들 (15강)
Av = λv	이 방향은 돌지 않고 늘어나기만 (18강)

앞으로 나올 개념은 거의 다 이 표의 오른쪽 칸에서 태어났습니다. 왼쪽만 외우면 시험은 볼 수 있지만, 오른쪽을 보면 왜 그런지가 보여요.

숫자로 보면 밋밋하지만, 위 실험실에서 같은 변환을 그림으로 보세요.

Python 브라우저에서 실행

# 여러 변환이 집 모양을 어떻게 바꾸는지 좌표로 확인해 봅시다
def Ax(A, x): return [round(sum(a*xi for a, xi in zip(행, x)), 3) for 행 in A]

집 = [(0,0), (2,0), (2,1.4), (1,2.2), (0,1.4)]

변환들 = {
    "그대로":   [[1, 0], [0, 1]],
    "2배 확대": [[2, 0], [0, 2]],
    "가로만 늘": [[3, 0], [0, 1]],
    "밀기":     [[1, 1], [0, 1]],
    "납작":     [[1, 2], [0.5, 1]],
}

for 이름, A in 변환들.items():
    옮긴집 = [Ax(A, list(p)) for p in 집]
    print(f"{이름:>8}: {옮긴집[:3]} ...")

고등학생변환의 눈으로 다시 보기

6강을 마치며 앞으로의 지도를 봅시다.

행렬을 동작으로 보면 뒤의 강들이 자연스러워진다

강	변환의 눈으로
7강 행렬 곱	변환을 이어서 한다
8강 행렬식	넓이가 몇 배가 되나
9강 역행렬	되돌리는 변환
15강 영공간	변환이 0으로 뭉개는 방향
18강 고유벡터	변환해도 방향이 안 바뀌는 축 ⭐

전부 "이 손이 무엇을 하나" 를 묻는 것이다

특히 18강이 그렇습니다

공간을 휘게 하는 손이 있는데 안 휘는 방향이 있다면?

—	—
그 방향이 고유벡터	변환의 뼈대다 ⭐

복잡한 변환도 몇 개의 축으로 설명된다 — 19강 대각화

비유 — 회전하는 지구

지구가 돕니다. 모든 것이 움직이는데 —

—	—
자전축	안 움직인다 ⭐

축을 찾으면 회전 전체를 이해한 것이다

18강에서 이 이야기를 제대로 합니다.

🤔 확인 문제

일차변환이 반드시 지켜야 하는 것은?

해설 일차변환은 길이·각도·넓이를 얼마든지 바꿀 수 있습니다. 하지만 A·0 = 0 이므로 원점만은 절대 못 옮깁니다. 그래서 평행이동은 일차변환이 아니에요.

🤔 확인 문제

어떤 일차변환이 i=(1,0) 을 (3,1) 로, j=(0,1) 을 (0,2) 로 보냅니다. 이 변환의 행렬은?

🤔 확인 문제

일차변환에서 격자가 휘어도 항상 유지되는 것은?