14강 / 20강

일차독립 · 기저 · 차원 — 꼭 필요한 만큼만

너무 많아도, 모자라도 안 된다

공간을 설명하는 데 벡터가 몇 개 필요할까요? 두 가지 실패가 있습니다.

너무 적으면 — 아무리 섞어도 닿지 못하는 곳이 남습니다. 너무 많으면 — 같은 벡터를 두 가지 방법으로 적을 수 있게 되어 헷갈립니다.

딱 맞는 개수를 고른 모둠이 기저(basis)이고, 그 개수가 차원(dimension)입니다. 그리고 "너무 많지 않다"를 정확히 표현한 말이 일차독립이에요.

일차독립 — c₁v₁ + c₂v₂ + … = 0 을 만족하는 방법이 모든 계수가 0인 경우뿐일 때

일차종속 — 0이 아닌 계수로도 0을 만들 수 있을 때. 이때 어떤 벡터는 남들의 조합으로 만들어집니다

고등학생너무 많아도, 모자라도 안 된다

부제가 기저의 조건을 말합니다.

조건	어기면
생성한다	모자라면 못 만드는 것이 생긴다
독립이다	많으면 낭비 — 표현이 유일하지 않다

기저 = 딱 필요한 만큼 — 넘치지도 모자라지도 않게

독립이란

어느 하나도 나머지로 만들 수 없다

—	—
(1,0), (0,1)	독립 ✔
(1,0), (2,0)	종속 — 둘째는 첫째의 2배 ⚠
(1,0), (0,1), (1,1)	종속 — 셋째는 앞 둘의 합

2강의 "새로운 방향인가" 가 독립의 뜻이다

비유 — 물감 세트

구성	—
빨강만	모자란다 — 못 만드는 색이 있다
빨강 · 파랑 · 노랑	딱 좋다 ✔
+ 보라	낭비 — 이미 만들 수 있다

"최소한의 세트" 를 찾는 것이 기저를 찾는 일이다

독립 + 생성 = 기저. 둘 중 하나만으로는 부족합니다.

Python 브라우저에서 실행

def rref랭크(열들):
    # 벡터들을 열로 세운 행렬의 랭크 = 독립인 벡터의 개수
    행수 = len(열들[0])
    M = [[열[i] for 열 in 열들] for i in range(행수)]
    r = 0
    for c in range(len(열들)):
        if r >= 행수: break
        축 = max(range(r, 행수), key=lambda i: abs(M[i][c]))
        if abs(M[축][c]) < 1e-9: continue
        M[r], M[축] = M[축], M[r]
        for i in range(r+1, 행수):
            f = M[i][c] / M[r][c]
            M[i] = [a - f*b for a, b in zip(M[i], M[r])]
        r += 1
    return r

모둠들 = {
    "표준기저":       [[1,0,0], [0,1,0], [0,0,1]],
    "겹치는 셋":      [[1,0,0], [1,1,0], [2,1,0]],
    "네 개":          [[1,0,0], [0,1,0], [0,0,1], [1,1,1]],
    "두 개":          [[1,0,0], [0,1,0]],
}
for 이름, V in 모둠들.items():
    r = rref랭크(V)
    독립 = (r == len(V))
    생성 = (r == 3)
    print(f"{이름:>10}: {len(V)}개, 랭크 {r} → "
          f"{'독립' if 독립 else '종속'}, {'R³ 생성' if 생성 else 'R³ 못 덮음'}, "
          f"{'기저 ✓' if 독립 and 생성 else '기저 ✗'}")

🎮 기저를 직접 골라 보세요

벡터를 눌러 담고 빼면서 독립인가, R³ 를 다 덮는가가 어떻게 바뀌는지 보세요. 셋을 골라도 기저가 아닐 수 있고, 넷을 고르면 반드시 독립이 깨집니다.

고등학생기저의 두 얼굴

note 의 이 표현을 풀어서 봅시다.

얼굴	뜻
생성하는 최소 집합	더 못 줄인다
독립인 최대 집합	더 못 늘린다

위에서 줄여 와도 아래에서 늘려 와도 같은 크기에서 만난다

그 크기가 차원입니다

차원 = 기저의 원소 개수 — 어떤 기저를 골라도 같다 ⭐

공간	차원
직선	1
평면	2
ℝⁿ	n

기저는 여러 개인데 개수는 하나다 — 그래서 차원이 잘 정의된다

표현의 유일성

기저로는 어떤 벡터든 딱 한 가지 방법으로 쓸 수 있습니다.

—	표현
기저면	유일 ✔
종속이 섞이면	여러 가지 ⚠

유일해야 좌표라고 부를 수 있다

비유 — 화폐 단위

—	—
1000·500·100원	금액마다 여러 조합 — 종속
1·10·100·1000 (자릿수)	표현이 유일 ✔

"3405원" 은 자릿수로 한 가지로만 쓰인다 — 그게 좌표다

차원 — 기저의 크기는 언제나 같다

R³ 의 기저를 아무리 다르게 골라도 개수는 언제나 3입니다. 이건 증명이 필요한 사실이고, 실제로 증명됩니다. 덕분에 차원이라는 말이 뜻을 가져요 — 어떻게 재도 같은 수가 나오니까요.

차원이 정해지면 편리한 지름길이 생깁니다. R³ 에서 벡터 3개를 골랐다면, 독립인지만 확인하면 됩니다 — 독립이면 자동으로 생성도 됩니다. 반대로 생성하면 자동으로 독립이고요.

개수가 맞을 때는 둘 중 하나만 확인하면 되는 겁니다. 시험에서 꽤 유용해요.

벡터는 하나지만 좌표는 기저마다 다릅니다. 19강 대각화의 씨앗입니다.

Python 브라우저에서 실행

# 같은 벡터를 다른 기저로 적어 봅시다
def 풀기2(기저1, 기저2, 목표):
    # c1*b1 + c2*b2 = 목표 를 푼다 (2x2)
    a, b = 기저1[0], 기저2[0]
    c, d = 기저1[1], 기저2[1]
    det = a*d - b*c
    if abs(det) < 1e-12: return None
    x, y = 목표
    return [(x*d - b*y)/det, (a*y - x*c)/det]

목표 = [3, 2]
print("벡터", 목표, "를 여러 기저로 적으면:")
print()
for 이름, (b1, b2) in {
    "표준 {(1,0),(0,1)}": ([1,0], [0,1]),
    "기울어진 {(1,1),(1,-1)}": ([1,1], [1,-1]),
    "늘어난 {(2,0),(0,3)}": ([2,0], [0,3]),
}.items():
    c = 풀기2(b1, b2, 목표)
    print(f"  {이름:>24}: 좌표 = {[round(v,3) for v in c]}")
print()
print("같은 화살표인데 좌표가 다릅니다 — 좌표는 '어느 자로 쟀는가'에 달렸습니다")

고등학생독립인지 빨리 판단하는 법

note 의 요령들을 상황별로 정리합시다.

상황	방법
2~3개 · 저차원	눈으로 — 배수인가
정사각 행렬	det ≠ 0 (8강)
일반	가우스 소거 → 피벗 개수 (11강)
개수만 봐도	차원보다 많으면 종속 ⭐

마지막이 가장 빠르다 — 세기만 하면 된다

왜 그런가

n차원 공간에 n+1개 벡터를 넣으면 반드시 종속입니다.

—	—
2차원에 벡터 3개	무조건 종속 ⚠

/dm 16강의 비둘기집 — 자리가 모자란다

이 사실이 실무에서

상황	결론
표본 100 · 변수 2만	변수들은 반드시 종속 ⚠
그래서	회귀 계수가 유일하지 않다

/ml 3강의 자료에서 규제가 필수인 이유다

⚠ 수치적 주의

계산에서는 "정확히 종속" 이 드뭅니다.

—	—
이론	독립 or 종속
실제	"얼마나" 독립인가 — 조건수 (12강)

이분법이 아니라 정도의 문제가 된다 — 20강 특잇값이 그걸 잰다

차원은 '자유도'다

차원을 몇 개의 수를 자유롭게 정할 수 있는가로 읽으면 감이 좋아집니다.

직선 위의 점 — 하나만 정하면 나머지가 따라옴 → 1차원
평면 위의 점 — 둘을 정해야 함 → 2차원
2차 이하 다항식 — 계수 셋을 정해야 함 → 3차원
2×2 행렬 전체 — 칸 넷 → 4차원
2×2 대칭행렬 — 대각선 2개와 나머지 1개 → 3차원 (대칭이라 하나가 묶임)

마지막 예가 재미있습니다. 칸은 4개지만 조건이 하나 걸려 자유도가 3이 됐어요. 조건 하나가 차원 하나를 깎는 것 — 이 감각이 15강 랭크-널리티 정리로 이어집니다.

행렬도 벡터입니다 — 기저를 잡고 좌표를 적을 수 있어요.

Python 브라우저에서 실행

# 2x2 대칭행렬들의 기저를 찾아봅시다
기저 = [
    ("E1", [[1, 0], [0, 0]]),
    ("E2", [[0, 0], [0, 1]]),
    ("E3", [[0, 1], [1, 0]]),
]
for 이름, M in 기저:
    print(f"{이름} = {M}")
print()

# 임의의 대칭행렬을 이 셋으로 적어 봅니다
S = [[5, -2], [-2, 3]]
a, c, b = S[0][0], S[1][1], S[0][1]
print(f"S = {S}")
print(f"  = {a}·E1 + {c}·E2 + ({b})·E3")

합 = [[a*기저[0][1][i][j] + c*기저[1][1][i][j] + b*기저[2][1][i][j]
       for j in range(2)] for i in range(2)]
print("  확인:", 합, "✓")
print()
print("자유롭게 정할 수 있는 수가 셋 → 2x2 대칭행렬은 3차원입니다")

고등학생좌표는 기저에 따라 달라진다

14강을 마치며 중요한 관점을 하나 더.

같은 벡터라도 기저를 바꾸면 좌표가 달라진다

예로 보면

기저	벡터 (3,1) 의 좌표
표준 (1,0),(0,1)	(3, 1)
(1,1),(1,−1)	(2, 1)

화살표는 그대로인데 숫자가 다르다 — 관점의 차이다

왜 기저를 바꾸나

목적	강
계산이 쉬워진다	19강 대각화 ⭐
구조가 보인다	20강 SVD · PCA
직교로 만든다	16강

"좋은 기저" 를 찾는 것이 뒤의 강들의 목표다

19강 미리보기

어떤 변환이 복잡해 보이는 것은 기저가 안 맞아서일 수 있습니다.

기저	행렬
표준	복잡하다
고유벡터	대각행렬 ✔

보는 각도를 바꾸면 단순해진다 — 그게 대각화다

비유 — 지도 방향 돌리기

—	—
북쪽 기준 지도	내 진행 방향과 안 맞는다
진행 방향으로 돌린 지도	훨씬 이해하기 쉽다 ✔

대상은 그대로인데 좌표계를 바꿔 편해지는 것

🤔 확인 문제

{(1,2), (2,4), (0,1)} 은 일차독립인가요?

🤔 확인 문제

R⁵ 의 기저는 몇 개의 벡터로 이루어지나요?

🤔 확인 문제

벡터 모둠에 영벡터가 포함되어 있으면?

해설 영벡터에 아무 수나 곱해도 0 이므로 0·v₁ + … + 5·0 = 0 처럼 0이 아닌 계수로 0을 만들 수 있습니다. 그래서 무조건 종속이에요.