17강 / 20강

증거 통합 — 두 개의 p값을 하나로

Fisher 와 Stouffer

이제 후보마다 p값이 여러 개 붙었습니다.

F-CNV 상관의 p값
aQTL 의 p값 (MR 마다 하나씩)
조건부 분석(MINDy)의 p값

이것들을 어떻게 하나의 순위로 만들까요? DIGGIT 은 통계학의 고전적인 도구 둘을 씁니다.

Fisher 결합

X² = −2 Σ ln(pᵢ) 를 계산하면 자유도 2k 의 카이제곱을 따릅니다.
아주 작은 p값 하나에 크게 반응합니다.

Stouffer 결합

각 p를 z 로 바꾼 뒤 Z = Σzᵢ / √k.
여러 증거가 고르게 뒷받침할 때 유리하고, 가중치를 주기도 쉽습니다.

고등학생두 개의 p값을 하나로

DIGGIT 은 여러 증거 를 모은다.

증거	강
aQTL	11강
MINDy	15강
조건부 분석	16강

각각이 p 값을 준다

이것들을 하나의 점수 로 합쳐야 순위표를 만들 수 있다.

여러 증거를 하나로 합치는 것도 통계적 문제다

🎮 두 방법을 나란히 돌려 보세요

p값을 바꿔 가며 Fisher 와 Stouffer 가 어떻게 다르게 반응하는지 보세요. "하나만 아주 강한 경우"와 "여럿이 고루 강한 경우"를 꼭 비교해 보시고요.

고등학생Fisher 의 방법

X² = −2 Σ ln(pᵢ)

성질	내용
분포	자유도 2k 의 카이제곱
민감한 쪽	아주 작은 p 하나

왜 그런가

ln(p) 는 p 가 작을수록 급격히 커진다.

p	−ln(p)
0.05	3.0
0.001	6.9
10⁻⁶	13.8

그러니 하나가 아주 강하면 전체가 유의해진다.

Fisher 방법은 강한 증거 하나를 잘 잡는다

두 방법의 성격 차이를 숫자로 확인해 보세요.

Python 브라우저에서 실행

# Fisher 와 Stouffer 를 직접 구현합니다
import math

def 정규누적(z): return 0.5*(1+math.erf(z/math.sqrt(2)))

def 역정규(p):
    """표준정규의 분위수 — 이분법으로 충분히 정확하게 구한다"""
    lo, hi = -12.0, 12.0
    for _ in range(200):
        mid = (lo+hi)/2
        if 정규누적(mid) < p: lo = mid
        else: hi = mid
    return (lo+hi)/2

def 카이제곱_꼬리(x, df):
    """자유도가 짝수일 때의 정확한 상측 꼬리 확률"""
    k = df // 2
    항, 합 = 1.0, 1.0
    for i in range(1, k):
        항 *= (x/2) / i
        합 += 항
    return math.exp(-x/2) * 합

def fisher(ps):
    X2 = -2 * sum(math.log(p) for p in ps)
    return X2, 카이제곱_꼬리(X2, 2*len(ps))

def stouffer(ps, 가중=None):
    zs = [역정규(1-p) for p in ps]
    if 가중 is None: 가중 = [1.0]*len(ps)
    Z = sum(w*z for w, z in zip(가중, zs)) / math.sqrt(sum(w*w for w in 가중))
    return Z, 1-정규누적(Z)

경우 = {
    "하나만 아주 강함": [1e-8, 0.40, 0.35],
    "고루 중간 강도":   [0.004, 0.006, 0.005],
    "약한 증거들":      [0.20, 0.15, 0.30],
}
print(f"{'경우':<18}{'Fisher p':>13}{'Stouffer p':>14}")
print("-"*46)
for 이름, ps in 경우.items():
    _, pf = fisher(ps)
    _, psx = stouffer(ps)
    print(f"{이름:<18}{pf:>13.2e}{psx:>14.2e}")
print()
print("하나만 강할 때는 Fisher 가 더 후하고,")
print("고루 강할 때는 Stouffer 가 더 후합니다.")

고등학생Stouffer 의 방법

Z = Σ zᵢ / √k

성질	내용
각 p 를 z 로 바꿔 합침	—
민감한 쪽	여러 개가 고루 유의
가중치	넣기 쉬움

Fisher 와 비교하면

상황	Fisher	Stouffer
하나만 아주 강함	유의	덜 유의
여럿이 적당히	덜 유의	유의

어느 것을 쓰나

무엇을 원하는가 에 달렸다.

"하나라도 강한 증거" 면 Fisher, "여러 증거의 합의" 면 Stouffer.

합치는 방법이 무엇을 중요하게 여기는지를 담고 있다

고등학생증거가 독립이어야 한다

가정	깨지면
p 값들이 독립	합친 p 가 너무 작아짐

DIGGIT 의 증거들은 독립인가

aQTL 과 조건부 분석은 같은 자료 를 쓴다. 그러니 완전히 독립이 아니다.

그러면 어떻게 되나

같은 신호를 두 번 세는 셈이라 합친 p 가 실제보다 작게 나온다.

대응

방법	내용
순열로 합친 통계량의 분포를 만듦	가장 안전
상관을 보정하는 변형 공식	—

독립이 아닌 증거를 독립인 것처럼 합치면 과신하게 된다

🤔 확인 문제

Fisher 결합과 Stouffer 결합의 성격 차이를 바르게 말한 것은?

독립이라는 가정

두 결합 방법 모두 p값들이 서로 독립같은 발현 자료를 씁니다.

독립이 아닌 p값을 그냥 합치면 결합 p값이 실제보다 작게 나옵니다. 증거를 두 번 센 셈이 되니까요. 해결책은 두 가지입니다.

순열로 결합 통계량의 귀무분포를 직접 만든다 (13강) — 가장 안전합니다
보수적으로 해석한다 — 결합 p값을 절대적 기준이 아니라 순위 매기는 자로만 쓴다

DIGGIT 이 최종 산출물을 "유의성 판정"이 아니라 후보 순위표로 내놓는 것은 이 한계를 정직하게 인정하는 태도이기도 합니다.

가정이 깨지면 얼마나 틀리는지 직접 재 보는 습관이 통계를 지킵니다.

Python 브라우저에서 실행

# p값들이 독립이 아닐 때 결합 p값이 얼마나 낙관적이 되는지 봅니다
import math, random
random.seed(17)

def 정규누적(z): return 0.5*(1+math.erf(z/math.sqrt(2)))
def 카이제곱_꼬리(x, df):
    k = df//2; 항, 합 = 1.0, 1.0
    for i in range(1, k):
        항 *= (x/2)/i; 합 += 항
    return math.exp(-x/2)*합
def fisher_p(ps):
    return 카이제곱_꼬리(-2*sum(math.log(p) for p in ps), 2*len(ps))

def 실험(상관, 반복=20000):
    """귀무가설이 참인 두 검정에서 Fisher 결합 p<0.05 가 나오는 비율"""
    거짓양성 = 0
    for _ in range(반복):
        z1 = random.gauss(0, 1)
        z2 = 상관*z1 + math.sqrt(1-상관**2)*random.gauss(0, 1)
        p1 = 1-정규누적(z1); p2 = 1-정규누적(z2)
        if fisher_p([max(p1,1e-12), max(p2,1e-12)]) < 0.05:
            거짓양성 += 1
    return 거짓양성/반복

print(f"{'두 p값의 상관':>13}{'실제 거짓양성률':>18}  (목표 5%)")
for r in [0.0, 0.3, 0.6, 0.9]:
    print(f"{r:>13.1f}{실험(r)*100:>17.1f}%")
print()
print("증거가 서로 닮을수록 결합 p값이 낙관적이 됩니다.")
print("DIGGIT 이 결과를 '판정' 이 아니라 '순위표' 로 내놓는 이유 중 하나입니다.")

🤔 확인 문제

aQTL 의 p값과 MINDy 의 p값을 그대로 Fisher 결합했을 때 결과를 조심해서 봐야 하는 이유는?

🤔 확인 문제

DIGGIT 의 최종 산출물을 '유의성 판정' 이 아니라 '후보 순위표' 로 보는 것이 합리적인 이유는?