11강 / 20강

NES — 점수를 확신도로 바꾸기

레귤론이 클수록 같은 쏠림이 더 놀랍다

ES 를 얻었습니다. 그런데 이 값만으로는 상사끼리 견줄 수가 없습니다. 왜냐하면 레귤론 크기가 제각각이기 때문입니다.

부하 3명이 전부 한쪽으로 쏠렸습니다. 놀랄 일일까요? 별로요 — 동전 세 번 던져 전부 앞면 나오는 정도입니다. 그런데 부하 300명이 전부 한쪽으로 쏠렸다면? 그건 사건입니다.

그래서 ES 를 레귤론 크기로 보정합니다. 그 결과가 NES (Normalized Enrichment Score, 정규화 농축 점수)입니다.

NES = ES × √( Σ w² ) ( w 는 정규화하지 않은 원래 가중치 )

고등학생점수를 확신도로 바꾸기

농축 점수만으로는 얼마나 놀라운지 모른다. 표준화 가 필요하다.

NES = (관찰 점수 − 기대) / 표준편차

NES	뜻
0	우연 수준
2	표준편차 2배 — p ≈ 0.05
5	아주 강한 신호

z 점수와 같은 눈금이라 해석이 익숙하다

NES 는 '얼마나 쏠렸나'가 아니라 '그 쏠림이 얼마나 놀라운가'입니다.

Python 브라우저에서 실행

# 같은 ES 라도 레귤론 크기에 따라 NES 가 얼마나 달라지는지 봅니다.
import math

def nes배율(가중치들):
    최대 = max(가중치들)
    w = [x/최대 for x in 가중치들]
    return math.sqrt(sum(x*x for x in w))

ES = 0.8      # 세 레귤론 모두 같은 쏠림 정도라고 가정

경우 = {
    "부하 3개 (고름)":    [1.0]*3,
    "부하 25개 (고름)":   [1.0]*25,
    "부하 100개 (고름)":  [1.0]*100,
    "부하 100개 (쏠림)":  [1.0] + [0.05]*99,
}

print(f"{'레귤론':<20}{'√Σw²':>9}{'NES':>9}")
for 이름, w in 경우.items():
    배율 = nes배율(w)
    print(f"{이름:<20}{배율:>9.2f}{ES*배율:>9.2f}")

print()
print("같은 ES 0.8 인데 NES 는 1.4 부터 8.0 까지 벌어집니다.")
print("마지막 줄을 보세요 — 부하가 100개여도 하나가 압도하면 배율이 1.1 에 그칩니다.")

고등학생레귤론이 클수록 같은 쏠림이 더 놀랍다

이것이 NES 계산의 핵심이다.

레귤론 크기	평균 순위의 표준편차
10	큼
100	중간
1000	작음

√n 의 법칙

평균의 표준편차는 1/√n 로 준다.

표적이 100개면 표준편차가 10분의 1, 그러니 같은 쏠림도 10배 놀랍다.

같은 관찰도 표본이 크면 더 강한 증거가 된다 — 통계의 기본 원리

NES 는 곧 z 값입니다

여기가 아름다운 지점입니다. NES 는 표준정규분포를 따르도록 만들어졌습니다. 즉 NES 값 자체가 z 점수이고, p 값이 바로 나옵니다.

NES	양측 p 값	읽는 법
1.0	0.32	흔한 일 — 아무 말도 못 한다
2.0	0.046	가까스로 유의
3.0	0.0027	꽤 유의하다
5.0	6×10⁻⁷	강력한 후보
10.0	10⁻²³	거의 확실하다

실전 논문에서 마스터 레귤레이터의 NES 가 5 를 넘는 일은 흔합니다. 전사인자 6,000개를 한꺼번에 검사하므로 그 정도는 되어야 다중검정을 뚫습니다 (17강).

🎮 크기가 확신도를 바꾸는 것을 보세요

레귤론 크기와 가중치 쏠림을 조절해 보세요. ES 는 고정인데 NES 와 p 값이 어떻게 변하는지 보십시오. 부하를 100개로 늘렸다가, 그중 하나의 신뢰도만 확 키워 보세요 — 부하 수는 그대로인데 확신도가 무너집니다.

고등학생유효 크기가 자동으로 반영된다

5강의 유효 크기가 여기서 쓰인다.

상황	표적 수	유효 크기	NES
가중치가 고름	100	100	큼
가중치가 불균등	100	50	작음

왜 이것이 옳은가

가중치가 한두 표적에 몰려 있으면 사실상 그 몇 개만 보는 것이다.

그러면 표본이 작은 것 과 같으니 NES 도 작아야 한다.

가중 평균의 신뢰도는 실질적으로 몇 개를 보는가로 정해진다

aREA 의 '해석적(analytic)'이라는 말은 바로 이 뜻입니다.

Python 브라우저에서 실행

# NES 에서 p 값까지 — 순열 한 번 없이 수식만으로.
from statistics import NormalDist
import math
Z = NormalDist(0, 1)

def p값(nes):
    return 2 * (1 - Z.cdf(abs(nes)))     # 양측 검정

for nes in [0.5, 1.0, 1.65, 1.96, 2.5, 3.0, 4.0, 5.0, 7.0]:
    p = p값(nes)
    별 = "***" if p < 0.001 else "**" if p < 0.01 else "*" if p < 0.05 else ""
    print(f"NES {nes:>5.2f}  →  p = {p:.3e}  {별}")

print()
print("이 표 하나면 끝입니다. GSEA 였다면 여기서 순열을 10,000번 돌려야 했습니다.")
print("전사인자 6,000개 × 환자 500명 = 300만 번 검정을, 수식으로 한 번에 냅니다.")

고등학생NES 를 p 값으로

NES 는 대략 정규분포 를 따른다. 그러니 p 값으로 바꿀 수 있다.

p = 2 × (1 − Φ(|NES|))

\|NES\|	p 값
1.96	0.05
2.58	0.01
3.29	0.001

그런데 정규분포 가정이 맞나

12강에서 귀무분포를 직접 만들어 확인한다.

가정이 맞으면 공식이 훨씬 빠르고, 안 맞으면 순열을 써야 한다.

이론적 분포를 쓰기 전에 그 분포가 맞는지 확인하는 것이 순서다

🤔 확인 문제

ES 는 같은데 레귤론 크기가 다른 두 전사인자가 있습니다. NES 는 어떻게 됩니까?

해설 같은 정도의 쏠림이라도 증인이 많을수록 놀랍습니다. NES 는 ES 에 √(Σw²) 를 곱하므로 부하가 많을수록 커집니다.

🤔 확인 문제

부하가 100개인 레귤론에서 한 부하의 likelihood 만 1.0 이고 나머지 99개가 0.02 입니다. NES 배율 √(Σw²) 는?

해설 Σw² ≈ 1² + 99×0.02² ≈ 1.04 이므로 배율은 약 1.02 입니다. 부하 수 100 은 겉보기일 뿐, NES 는 유효 크기를 정직하게 반영합니다.

🤔 확인 문제

NES 가 표준정규분포를 따르도록 설계된 덕분에 얻는 실질적 이득은?

해설 GSEA 라면 p 값 하나에 순열을 수천 번 돌려야 합니다. NES 가 z 값이면 p = 2(1 − Φ(|NES|)) 한 줄이면 끝나요. 이것이 VIPER 를 환자 수백 명에게 쓸 수 있게 만든 속도의 원천입니다.