11강 / 20강

캘리퍼 두 값에서 부피로 — L × W² / 2 는 어디서 왔나

논문 Fig. S12B 종양 성장곡선 · 종양부피 공식

종양의 부피를 어떻게 잴까요? 꺼내서 물에 담그면 정확하겠지만, 그러면 마우스가 죽습니다. 시간에 따른 변화를 볼 수 없어요.

그래서 살아 있는 채로, 겉에서 캘리퍼로 두 값만 잽니다 — 긴 쪽(L)과 짧은 쪽(W). 그리고 이 공식을 씁니다.

V = L × W² / 2

이 공식은 어디서 왔을까요? 회전타원체에서 왔습니다.

고등학생두 값에서 부피로

캘리퍼로 종양의 길이(L)와 너비(W)를 잽니다. 그것으로 부피를 계산해요.

부피 = L × W² ÷ 2

왜 이 식인가	내용
종양을 타원체로 가정	—
높이를 W와 같다고 가정	재기 어려우니까
타원체 부피 = (π/6) × L × W × H	π/6 ≈ 0.52 ≈ 1/2

종양을 럭비공 모양(회전타원체)이라고 봅시다. 반지름이 각각 a, b, b 인 회전타원체의 부피는

V = (4/3) π a b²

여기서 a = L/2, b = W/2 를 넣으면

V = (4/3) π (L/2) (W/2)²
  = (4/3) π (L/2) (W²/4)
  = (π/6) L W²
  ≈ 0.5236 × L W²

π/6 ≈ 0.5236 입니다. 이것을 1/2 로 반올림한 것이 우리가 쓰는 공식이에요.

V ≈ L × W² / 2

즉 이 공식은 모양 가정 + 반올림 위에 서 있습니다. 정확한 부피가 아니에요.

고등학생가정이 깨지는 경우

상황	결과
종양이 납작함	부피가 과대평가
불규칙한 모양	부정확
피부와 융합	경계가 애매
궤양·괴사	—

캘리퍼 부피는 추정치입니다 — 13강의 실제 무게와 어긋날 수 있어요.

같은 1 mm 라도 어느 쪽을 틀리느냐에 따라 결과가 다릅니다.

Python 브라우저에서 실행

# 재는 오차가 부피에 얼마나 번지나 — W 는 제곱으로 들어간다
def 부피(L, W):
    return L * W * W / 2

L, W = 12.0, 8.0                        # mm
print(f"기준        L={L:.1f} W={W:.1f}  →  V={부피(L, W):8.1f} mm³")
print()

for 오차 in (0.5, 1.0):
    vL = 부피(L + 오차, W)
    vW = 부피(L, W + 오차)
    print(f"L 만 {오차:+.1f} mm 틀리면  V={vL:8.1f}  ({(vL/부피(L,W)-1)*100:+5.1f}%)")
    print(f"W 만 {오차:+.1f} mm 틀리면  V={vW:8.1f}  ({(vW/부피(L,W)-1)*100:+5.1f}%)")
    print()

print("W 는 제곱으로 들어가므로, 짧은 쪽을 잘못 재면 오차가 두 배로 번집니다.")

고등학생측정의 오차를 줄이는 법

규칙	왜
같은 사람이 측정	사람마다 누르는 힘이 다름
같은 캘리퍼	기기 차이
긴 축을 L로 일관되게	—
같은 시각에	—
맹검	10강

작은 종양일수록 상대 오차가 큽니다 — 5 mm에서 1 mm 오차는 20%예요.

고등학생왜 그래도 캘리퍼를 쓰나

	캘리퍼	영상 (MRI·초음파)
비용	거의 0	높음
속도	몇 초	몇 분 · 마취 필요
정확도	중간	높음
반복	매일 가능	어려움

피하 종양에는 캘리퍼가 충분히 실용적입니다 — 그래서 표준이 됐어요.

🤔 확인 문제

캘리퍼로 잰 W(짧은 쪽)를 1 mm 크게 잘못 쟀습니다. L 을 1 mm 크게 잘못 잰 것과 견주면?