12강 / 20강

무작위효과 — 시리즈마다 진짜 값이 다를 수 있다고 인정한다

DerSimonian–Laird τ² · 이 강의가 실제로 쓴 모형

10강의 가중평균에는 숨은 가정이 하나 있었습니다.

네 시리즈가 같은 하나의 진짜 값을 흐릿하게 봤다

이걸 고정효과(fixed effect) 모형이라고 합니다. 차이는 전부 측정 오차라고 보는 거예요. CTHRC1 처럼 I² 가 0% 면 이 가정이 그럴듯합니다.

그런데 COL1A1 처럼 I² 가 80% 면? 그때는 다른 가정이 필요합니다.

시리즈마다 진짜 값 자체가 다르다 — 그 값들이 어떤 분포에서 나온다

이것이 무작위효과(random effects) 모형입니다.

무작위효과는 가중치에 τ²(타우 제곱)를 하나 더 얹습니다. 시리즈 사이의 진짜 흩어짐이에요.

w^*ᵢ = ¹⁄_{SE²ᵢ + τ²}

τ² 를 어떻게 구하느냐가 방법의 이름이 됩니다. 가장 널리 쓰이는 것이 DerSimonian–Laird 예요. 이 강의가 쓴 방법입니다.

τ² = max( 0, ^{Q − df}⁄_C ) C = Σwᵢ − ^Σwᵢ²⁄_Σwᵢ

고등학생τ² — 시리즈 사이의 진짜 차이

τ²(타우 제곱)는 "시리즈들의 참값이 서로 얼마나 다른가"입니다. 측정 오차와는 별개의 항이에요.

	고정효과에서 보는 흔들림	무작위효과에서 보는 흔들림
측정 오차 Var(gᵢ)	있음	있음
집단 간 진짜 차이 τ²	없다고 가정	있음, 추정함
무게	1/Varᵢ	1/(Varᵢ + τ²)

DerSimonian–Laird 방법이 τ²를 Q에서 뽑아냅니다. Q가 자유도보다 크면 그 초과분이 τ²로 가고, 작거나 같으면 τ² = 0이 되어 고정효과와 똑같아져요.

CTHRC1 은 τ²=0 이라 두 모형이 같습니다. COL1A1 은 SE 가 두 배 넘게 벌어져요.

Python 브라우저에서 실행

# 고정효과와 무작위효과를 나란히 계산합니다. 실제 값입니다.
import numpy as np
from math import sqrt

n = [(17, 6), (23, 15), (22, 11), (40, 8)]

def both(g):
    g  = np.array(g, dtype=float)
    se = np.array([sqrt((a+b)/(a*b) + gi*gi/(2*(a+b))) for gi, (a, b) in zip(g, n)])
    w  = 1 / se**2
    gf = (w * g).sum() / w.sum()                  # 고정효과
    Q  = (w * (g - gf) ** 2).sum()
    df = len(g) - 1
    C  = w.sum() - (w**2).sum() / w.sum()
    tau2 = max(0.0, (Q - df) / C) if C > 0 else 0.0
    wr = 1 / (se**2 + tau2)                       # 무작위효과
    gr = (wr * g).sum() / wr.sum()
    ser = sqrt(1 / wr.sum())
    sef = sqrt(1 / w.sum())
    return gf, sef, gr, ser, tau2

print(f"{'유전자':9s} {'고정 g':>7s} {'SE':>6s} {'랜덤 g':>7s} {'SE':>6s} {'tau2':>7s}")
for name, g in [("CTHRC1", [2.328, 2.476, 1.994, 2.597]),
                ("COL1A1", [3.139, 2.338, 5.686, 2.394]),
                ("MMP7",   [2.186, 1.983, 2.288, 3.560])]:
    gf, sef, gr, ser, t2 = both(g)
    print(f"{name:9s} {gf:7.3f} {sef:6.3f} {gr:7.3f} {ser:6.3f} {t2:7.4f}")

결과를 보세요. CTHRC1 은 τ² 가 0 이라 고정효과와 무작위효과가 똑같습니다. τ² 가 0 이면 두 모형은 수학적으로 같은 식이 되거든요.

COL1A1 은 τ² 가 크고, 그 결과 표준오차가 크게 늘어납니다. 합친 g 는 비슷한데 확신이 줄어든 것이에요. 그게 정직한 답입니다.

고등학생무게가 평평해진다

분모에 τ²가 더해지면 재미있는 일이 생깁니다. 원래 무게가 큰 시리즈(Var가 작은 것)는 분모에 τ²가 붙으면 상대적으로 크게 줄고, 원래 작던 시리즈는 덜 줄어요.

시리즈	Var	고정효과 무게 1/Var	τ²=0.3일 때 1/(Var+τ²)
큰 시리즈	0.05	20.0	2.86
작은 시리즈	0.50	2.0	1.25
무게 비율		10 : 1	2.3 : 1

발언권이 평평해집니다. 큰 시리즈가 여전히 더 세지만 압도하지는 못해요. 집단마다 참값이 다르다면 큰 시리즈 하나가 자기 집단의 값을 정확히 아는 것일 뿐, 전체 평균을 아는 게 아니니까요.

τ² 가 무한대로 가면 그냥 산술평균이 됩니다.

Python 브라우저에서 실행

# tau2 가 커질수록 가중치가 어떻게 평평해지는가.
import numpy as np
from math import sqrt

n  = [(17, 6), (23, 15), (22, 11), (40, 8)]
g  = np.array([3.139, 2.338, 5.686, 2.394])       # COL1A1
se = np.array([sqrt((a+b)/(a*b) + gi*gi/(2*(a+b))) for gi, (a, b) in zip(g, n)])

print(f"{'tau2':>6s}  " + "  ".join(f"{x[3:]:>9s}" for x in
      ["GSE24206", "GSE10667", "GSE110147", "GSE53845"]) + "     합친 g")
for t2 in [0.0, 0.1, 0.3, 1.0, 3.0, 10.0]:
    w = 1 / (se**2 + t2)
    p = w / w.sum() * 100
    gb = (w * g).sum() / w.sum()
    print(f"{t2:6.1f}  " + "  ".join(f"{x:8.1f}%" for x in p) + f"   {gb:8.3f}")
print()
print("tau2 가 커지면 가중치가 25% 씩으로 평평해집니다 —")
print("표본 수의 이점이 사라지고 단순평균에 가까워져요.")

고등학생신뢰구간이 넓어지고, 유전자가 줄어든다

무작위효과로 바꾸면 대부분 유전자의 신뢰구간이 넓어집니다. 이질성이 높은 유전자일수록 많이 넓어져요. 그 결과 유의한 유전자 수가 줄어듭니다.

더 정직한 모형은 대개 더 적은 것을 주장합니다.

유전자	I²	고정효과 CI	무작위효과 CI
CTHRC1	0%	좁음	거의 같음
COL1A1	81%	좁음	훨씬 넓음

I²=0%인 유전자는 아무것도 안 바뀌고, 높은 유전자만 벌을 받습니다. 이게 옳은 방향이에요 — 시리즈마다 딴소리하는 유전자를 덜 확신하게 만드는 것이니까요. 이 강의는 여기서부터 무작위효과 결과를 씁니다.

🤔 확인 문제

무작위효과 모형이 고정효과 모형과 다르게 가정하는 것은?

🤔 확인 문제

τ² 가 0 일 때 무작위효과 결과는 어떻게 되나요?

해설 가중치 식 1/(SE²+τ²) 에서 τ²=0 이면 1/SE² 입니다. 그래서 무작위효과를 기본으로 쓰면 손해가 없어요.

🤔 확인 문제

τ² 가 아주 커지면 가중평균은 무엇에 가까워지나요?

해설 τ² 가 SE² 를 압도하면 모든 가중치가 1/τ² 로 같아집니다. 표본 수의 이점이 사라져요.