9강 / 20강

효과크기 — 눈금이 다른 넷을 견줄 수 있게 만드는 숫자

Cohen's d 와 Hedges' g · 이 강의가 쓴 보정식

6강에서 눈금을 맞췄습니다. 그런데 완전히는 못 맞췄어요. GSE53845 는 여전히 비율의 로그이고, 나머지는 밝기의 로그입니다.

여기서 한 걸음 더 나갑니다. log2FC 를 그 시리즈 자신의 흩어짐으로 나눕니다.

d = ^{평균(IPF) − 평균(정상)}⁄_{합동 표준편차}

이것을 Cohen's d 라고 부릅니다. 단위가 사라져요. "이 시리즈의 흩어짐 몇 개만큼 떨어져 있는가" 가 되니까요.

d 는 자기 시리즈의 흩어짐을 자로 씁니다. 그래서 견줄 수 있어요.

Python 브라우저에서 실행

# 합동 표준편차와 Cohen's d.
import numpy as np
from math import sqrt

def cohens_d(ipf, ctrl):
    n1, n0 = len(ipf), len(ctrl)
    v1, v0 = ipf.var(ddof=1), ctrl.var(ddof=1)
    sp = sqrt(((n1-1)*v1 + (n0-1)*v0) / (n1+n0-2))   # 합동 표준편차
    return (ipf.mean() - ctrl.mean()) / sp, sp

rng = np.random.default_rng(11)
# 눈금이 다른 두 시리즈. 같은 생물학, 다른 자.
big   = (rng.normal(500, 120, 20), rng.normal(200, 60, 12))   # 선형 눈금
small = (rng.normal(1.2, 0.35, 20), rng.normal(0.1, 0.30, 12))  # 로그 비율 눈금

for name, (i, c) in [("큰 눈금", big), ("작은 눈금", small)]:
    raw = i.mean() - c.mean()
    d, sp = cohens_d(i, c)
    print(f"{name:8s}  평균차이 {raw:9.2f}   표준편차 {sp:8.2f}   d = {d:5.2f}")
print()
print("평균 차이는 100배 넘게 다른데 d 는 비슷합니다.")

고등학생d의 크기를 읽는 법

d가 얼마면 큰 걸까요. 관례적인 기준이 있습니다.

\|d\|	통상적 해석	그림으로
0.2	작다	두 분포가 거의 겹침
0.5	중간	눈으로 겨우 구분
0.8	크다	확실히 갈림
1.0 이상	매우 크다	이 강의의 문턱

이 강의는 |g| > 1.0을 씁니다. 유전자가 1만 5천 개나 되니까 문턱을 높이지 않으면 후보가 수천 개로 남거든요. 다만 이 문턱은 관례일 뿐이고, 19강에서 이 손잡이를 직접 돌려 보게 됩니다.

그런데 d 에는 흠이 하나 있습니다. 표본이 적으면 값이 부풀어요.

표본 여섯 개로 잰 표준편차는 진짜 표준편차보다 작게 나오는 경향이 있고, 작은 수로 나누면 몫이 커집니다. GSE24206 의 정상은 여섯 개뿐이에요.

그래서 보정을 겁니다. Hedges' g 입니다.

g = J · d J = 1 − ³⁄_{4(n₁+n₀) − 9}

표본이 많아지면 J 가 1 에 가까워져 보정이 사라집니다.

Python 브라우저에서 실행

# Hedges 보정이 표본 수에 따라 얼마나 깎는가.
def J(n1, n0):
    return 1.0 - 3.0 / (4 * (n1 + n0) - 9)

print(f"{'IPF':>5s} {'정상':>5s} {'합':>5s} {'J':>8s} {'깎는 비율':>10s}")
for n1, n0 in [(3, 3), (17, 6), (23, 15), (22, 11), (40, 8), (100, 100)]:
    j = J(n1, n0)
    print(f"{n1:5d} {n0:5d} {n1+n0:5d} {j:8.4f} {(1-j)*100:9.2f}%")
print()
print("이 강의의 네 시리즈는 J 가 0.97~0.99 입니다 — 3% 안쪽으로 깎입니다.")
print("표본이 셋씩이면 10% 넘게 깎여요. 작은 연구일수록 보정이 중요합니다.")

고등학생왜 d가 아니라 g인가 — 작은 표본의 부풀림

표본이 적으면 표준편차를 실제보다 작게 추정하는 경향이 있습니다. 분모가 작아지면 d는 커져요. 그래서 표본 5개짜리 시리즈의 d는 자동으로 부풀어 있습니다.

학교 급식 이야기로 돌아가면, 세 명에게만 물어봤을 때 "다들 똑같이 맛없대!"라고 말하기 쉬운 것과 같습니다. 실제로는 세 명이라 의견이 우연히 모였을 뿐이에요.

Hedges' g = d × J, 여기서 J ≈ 1 − 3/(4·(n₁+n₂) − 9)

총 표본 수	보정계수 J	d가 1.0일 때 g
10	약 0.94	0.94
20	약 0.96	0.96
50	약 0.985	0.985

표본이 커지면 J가 1에 가까워져 g와 d가 같아집니다. 작은 시리즈만 깎아 주는 셈이에요.

g 하나만으로는 아직 부족합니다. 다음 강에서 넷을 합치려면 g 가 얼마나 흔들리는지도 알아야 해요. 그것이 표준오차입니다.

SE(g) = √( ^n₁+n₀⁄_n₁n₀ + ^g²⁄_2(n₁+n₀) )

식의 첫 항을 보세요. 표본이 많아지면 작아집니다. 표본이 많은 시리즈일수록 g 가 덜 흔들린다는 뜻이에요. 이게 다음 강의 가중치가 됩니다.

표본 수가 아니라 두 무리의 균형이 가중치를 정합니다.

Python 브라우저에서 실행

# 네 시리즈의 표준오차. 표본 수가 그대로 신뢰도가 됩니다.
from math import sqrt

series = [("GSE24206", 17, 6), ("GSE10667", 23, 15),
          ("GSE110147", 22, 11), ("GSE53845", 40, 8)]
g = 2.0     # 같은 효과크기라고 가정

print(f"{'시리즈':11s} {'IPF':>4s} {'정상':>5s} {'SE':>7s} {'가중치 1/SE^2':>14s}")
tot = 0
rows = []
for name, n1, n0 in series:
    se = sqrt((n1+n0)/(n1*n0) + g*g/(2*(n1+n0)))
    w  = 1/se**2
    rows.append((name, n1, n0, se, w)); tot += w
for name, n1, n0, se, w in rows:
    print(f"{name:11s} {n1:4d} {n0:5d} {se:7.4f} {w:9.2f} ({w/tot*100:4.1f}%)")
print()
print("정상이 6개뿐인 GSE24206 이 가장 적게, 균형이 좋은 GSE10667 이 가장 많이 실립니다.")

고등학생g에도 오차가 있다 — 그리고 그게 10강의 열쇠

g는 추정값입니다. 참값이 아니에요. 표본이 적을수록 이 추정이 흔들립니다. 그 흔들림의 크기를 분산 Var(g)로 계산할 수 있어요.

Var(g) ≈ (n₁+n₂)/(n₁·n₂) + g²/(2·(n₁+n₂))

식을 보면 표본이 많을수록 분산이 작습니다. 당연하죠. 그리고 이 분산이 10강에서 결정적인 역할을 합니다 — 네 시리즈를 합칠 때 분산이 작은 시리즈에 더 큰 무게를 주기 때문이에요.

시리즈	표본 수	Var(g)	10강에서의 발언권
큰 것	많음	작음	큼
작은 것	적음	큼	작음

"확신하는 사람의 말을 더 듣는다"가 아니라 "정보가 많은 사람의 말을 더 듣는다"입니다. 이 구분이 중요해요.

🤔 확인 문제

Cohen's d 가 눈금이 다른 시리즈를 견줄 수 있게 만드는 원리는?

🤔 확인 문제

Hedges' g 가 Cohen's d 를 보정하는 이유는?

🤔 확인 문제

표준오차 식에 (n₁+n₀)/(n₁n₀) 항이 있다는 것이 뜻하는 바는?