Lesson 10 of 20

합치기 — 네 개의 g 를 하나로, 가중평균

고정효과 메타분석 · 역분산 가중

이제 유전자 하나에 대해 g 가 넷 있습니다. 시리즈마다 하나씩이죠. 이걸 하나로 만들어야 합니다.

그냥 평균을 내면 될까요? 안 됩니다. 시리즈마다 믿음의 정도가 다르니까요. 정상 여섯 개로 잰 시리즈와 정상 열다섯 개로 잰 시리즈를 똑같이 셀 수는 없습니다.

ḡ = ^{Σ wᵢ gᵢ}⁄_{Σ wᵢ} wᵢ = ¹⁄_SE²ᵢ

가중치는 표준오차의 제곱의 역수입니다. 덜 흔들리는 시리즈에 더 무겁게. 이것을 역분산 가중(inverse-variance weighting) 이라고 부릅니다.

합친 g 는 2.34. 이 강의의 실제 결과와 같습니다.

Python Runs in your browser

# CTHRC1 의 실제 값으로 가중평균을 내 봅니다.
# 네 시리즈의 g 는 이 강의가 실제로 계산한 값입니다.
import numpy as np
from math import sqrt

g  = np.array([2.328, 2.476, 1.994, 2.597])          # GSE24206, 10667, 110147, 53845
n  = [(17, 6), (23, 15), (22, 11), (40, 8)]
se = np.array([sqrt((a+b)/(a*b) + gi*gi/(2*(a+b))) for gi, (a, b) in zip(g, n)])

w  = 1 / se**2
gbar = (w * g).sum() / w.sum()
se_bar = sqrt(1 / w.sum())

names = ["GSE24206", "GSE10667", "GSE110147", "GSE53845"]
print(f"{'시리즈':11s} {'g':>7s} {'SE':>7s} {'가중치':>8s} {'몫':>7s}")
for nm, gi, si, wi in zip(names, g, se, w):
    print(f"{nm:11s} {gi:7.3f} {si:7.3f} {wi:8.2f} {wi/w.sum()*100:6.1f}%")
print("-" * 44)
print(f"{'합친 g':11s} {gbar:7.3f} {se_bar:7.3f}")
print(f"z = {gbar/se_bar:.2f}")

High school왜 하필 1/분산인가

임의로 고른 규칙이 아닙니다. 수학적으로 합친 값의 분산을 가장 작게 만드는 유일한 무게가 1/Var예요.

무게 방식	합친 추정의 분산
동일 가중 (1/4씩)	더 크다
표본 수 가중	보통 그 중간
역분산 가중	최소

합친 값의 분산도 깔끔한 식으로 나옵니다.

Var(합) = 1 / Σ(1/Varᵢ) — 무게의 합의 역수

이 식이 말하는 게 중요합니다. 시리즈를 하나 더 넣으면 Σ가 커지고 Var(합)이 반드시 작아져요. 자료를 더 모으면 확신이 커진다는 직관과 정확히 맞습니다.

합친 값의 표준오차를 보세요. 0.24 입니다. 개별 시리즈의 SE 는 0.35~0.55 였는데, 합치니 그보다 작아졌어요.

SE(ḡ) = √( ¹⁄_{Σ wᵢ} )

이게 메타분석을 하는 가장 큰 이유입니다. 네 개의 흐릿한 관찰을 합치면 하나의 또렷한 관찰이 됩니다. 표본을 새로 모은 것과 같은 효과예요.

네 번째 시리즈를 더해도 g 는 2.3 언저리. 확신만 커집니다.

Python Runs in your browser

# 시리즈를 하나씩 더할 때 표준오차가 줄어드는 모습.
import numpy as np
from math import sqrt

g  = np.array([2.328, 2.476, 1.994, 2.597])
n  = [(17, 6), (23, 15), (22, 11), (40, 8)]
se = np.array([sqrt((a+b)/(a*b) + gi*gi/(2*(a+b))) for gi, (a, b) in zip(g, n)])
names = ["GSE24206", "GSE10667", "GSE110147", "GSE53845"]

print(f"{'더한 시리즈':>28s} {'합친 g':>8s} {'SE':>7s} {'z':>7s}")
for k in range(1, 5):
    w = 1 / se[:k]**2
    gb = (w * g[:k]).sum() / w.sum()
    sb = sqrt(1 / w.sum())
    print(f"{' + '.join(x[3:] for x in names[:k]):>28s} {gb:8.3f} {sb:7.3f} {gb/sb:7.2f}")
print()
print("g 는 거의 안 움직이는데 SE 가 계속 줄고 z 가 커집니다.")

High school합친 뒤에 나오는 세 숫자

메타분석 한 번을 돌리면 유전자마다 세 숫자가 나옵니다.

숫자	뜻	쓰임
g_합	합친 효과크기	얼마나 크게 달라졌나
SE(g_합)	그 추정의 표준오차	얼마나 확신하나
z = g/SE, p	우연 가능성	13강 FDR의 입력

그리고 95% 신뢰구간은 g_합 ± 1.96×SE입니다. 이 구간이 0을 포함하면 "방향조차 확신 못 한다"는 뜻이에요.

합친 g 로 z 값을 구하고, 거기서 p값을 얻습니다.

z = ^ḡ⁄_SE(ḡ)

CTHRC1 의 z 는 +9.89 였습니다. 표준정규분포에서 9.89 는 말 그대로 천문학적으로 드문 값이에요.

z 가 4 만 넘어도 p 는 10⁻⁵ 아래입니다.

Python Runs in your browser

# z 에서 양측 p값. 정규분포 꼬리 면적입니다.
from math import erfc, sqrt

def p_from_z(z):
    return erfc(abs(z) / sqrt(2))

for name, z in [("CTHRC1", 9.89), ("MMP7", 7.14), ("MMP1", 4.39),
                ("SPP1", 4.32), ("보통 유의한 값", 1.96), ("경계", 1.64)]:
    p = p_from_z(z)
    print(f"{name:16s} z = {z:6.2f}   p = {p:.3e}")

🤔 Check yourself

역분산 가중(1/SE²)을 쓰는 이유로 가장 정확한 것은?

🤔 Check yourself

네 시리즈를 합쳤을 때 g 는 거의 안 변하는데 z 만 커진 이유는?

🤔 Check yourself

네 시리즈가 모두 같은 편향을 갖고 있을 때 합치면 어떻게 되나요?