4강 / 20강

논리 게이트 — 전기 스위치로 덧셈을 만들다

AND · OR · NOT 세 개면 컴퓨터가 만들어진다

CPU가 덧셈을 한다는 건 무슨 뜻일까요? 안에 계산기가 들어 있는 걸까요?

놀랍게도 CPU 안에 있는 건 전기 스위치뿐입니다. 그 스위치를 잘 엮으면 덧셈이 '저절로' 나와요. 이번 강에서 그걸 직접 만들어 봅니다.

고등학생스위치 세 개로 컴퓨터 만들기

이 강의에서 가장 놀라운 부분입니다.

AND · OR · NOT — 세 개면 컴퓨터가 만들어진다

세 개가 무슨 뜻인가

게이트	언제 1 을 내나	일상어로
AND	둘 다 1	"그리고"
OR	하나라도 1	"또는"
NOT	반대로	"아니다"

이건 말이다 — 그리고 · 또는 · 아니다

비유 — 전등 스위치

배선	동작	게이트
스위치 둘을 직렬로	둘 다 켜야 불이 켜진다	AND
스위치 둘을 병렬로	하나만 켜도 켜진다	OR

전선을 어떻게 잇느냐가 논리가 된다

그런데 이게 왜 컴퓨터가 되나

19세기 수학자 불(Boole) 이 증명했습니다 — 모든 논리를 이 세 개로 쓸 수 있다고요.

그리고 덧셈도 논리입니다. "둘 다 1 이면 자리올림" 같은 규칙이니까요.

덧셈이 되면 뺄셈 · 곱셈 · 나눗셈이 다 된다

2의 보수 덕에 뺄셈은 덧셈이고(3강), 곱셈은 덧셈의 반복이니까요.

세 가지 기본 스위치

🔗

AND

둘 다 1이어야 1
직렬로 연결된 스위치

🔀

하나만 1이어도 1
병렬로 연결된 스위치

🔃

NOT

뒤집는다
1이면 0, 0이면 1

여기에 아주 유용한 조합 하나를 더합니다.

⚡

XOR

서로 다를 때만 1
0+1=1, 1+1=0 … 덧셈의 한 자리!

고등학생전기가 어떻게 판단을 하나

조금 더 깊이 — 물리적으로 무슨 일이 벌어질까요?

게이트의 재료는 트랜지스터 — 전기로 켜는 스위치

트랜지스터가 하는 일

다리가 셋입니다. 한 다리에 전기를 주면 나머지 둘 사이가 통합니다.

제어 다리	나머지 둘
0	끊김
1	통함

전기로 전기를 조절하는 스위치

이게 왜 결정적인가

손으로 누르는 스위치는 사람이 필요합니다. 그런데 트랜지스터는 다른 스위치가 눌러 줍니다.

스위치가 스위치를 켠다 → 연쇄가 가능해진다

그래서 수십억 개를 이어 붙일 수 있어요. 사람 손이 필요 없으니까요.

숫자로 보면

것	트랜지스터 수
NOT 게이트	2개
1비트 덧셈기	수십 개
요즘 CPU	수백억 개

단순한 것을 어마어마하게 많이 쌓은 것 — 그게 CPU 다

비유 — 레고

레고 블록 하나는 단순합니다. 그런데 수억 개면 뭐든 만듭니다.

단, 비유가 깨지는 곳 — 레고는 가만히 있지만 트랜지스터는 초당 수십억 번 상태를 바꿉니다.

네 가지 게이트의 진리표.

Python 브라우저에서 실행

# 파이썬으로 게이트를 만들어 본다 (진리표를 그대로 옮긴 것뿐)
def AND(a, b): return a & b
def OR(a, b):  return a | b
def NOT(a):    return 1 - a
def XOR(a, b): return a ^ b

print("a b | AND OR XOR")
print("----+-------------")
for a in (0, 1):
    for b in (0, 1):
        print(f"{a} {b} |  {AND(a,b)}   {OR(a,b)}   {XOR(a,b)}")

덧셈을 조립한다 — 반가산기

1비트 두 개를 더하면 결과가 이렇습니다.

0 + 0 = 0   (자리올림 0)
0 + 1 = 1   (자리올림 0)
1 + 0 = 1   (자리올림 0)
1 + 1 = 0   (자리올림 1)  ← 2진수라 10 이 된다

왼쪽 결과(합)를 보세요. 이건 정확히 XOR입니다. 자리올림을 보세요. 이건 정확히 AND고요.

그러니까 덧셈기 = XOR 하나 + AND 하나입니다. 그게 전부예요.

게이트만으로 8비트 덧셈기를 조립했습니다.

Python 브라우저에서 실행

def 반가산기(a, b):
    합 = a ^ b            # XOR
    올림 = a & b          # AND
    return 합, 올림

def 전가산기(a, b, 이전올림):
    s1, c1 = 반가산기(a, b)
    s2, c2 = 반가산기(s1, 이전올림)
    return s2, c1 | c2

# 전가산기를 8개 이어 붙이면 8비트 덧셈기가 된다
def 덧셈기8(x, y):
    올림 = 0
    결과 = 0
    for i in range(8):
        a = (x >> i) & 1
        b = (y >> i) & 1
        비트, 올림 = 전가산기(a, b, 올림)
        결과 |= 비트 << i
    return 결과, 올림

for x, y in [(5, 3), (200, 100), (255, 1)]:
    합, 넘침 = 덧셈기8(x, y)
    print(f"{x:3} + {y:3} = {합:3}   자리올림 {넘침}"
          f"{'   ← 8비트를 넘쳤다!' if 넘침 else ''}")

고등학생이게 왜 대단한가

note 의 감탄을 풀어서 봅시다.

단순한 규칙 셋에서 모든 계산이 나온다

계층을 보면 이렇습니다

층	무엇
1	전자 — 물리
2	트랜지스터 — 스위치
3	게이트 — 논리
4	덧셈기 · 레지스터
5	CPU
6	기계어
7	운영체제
8	쇼핑몰

각 층은 아래층을 몰라도 쓸 수 있다

이걸 추상화라고 합니다

쇼핑몰 코드를 짤 때 트랜지스터를 생각하지 않죠. 그게 층을 나눈 이유입니다.

비유하자면 — 운전할 때 엔진 원리를 모르는 것과 같아요. 핸들과 페달만 알면 됩니다.

그런데 고장 나면 아래층을 알아야 한다

그래서 이 강의가 있습니다

평소엔 몰라도 됩니다. 느려지거나 이상할 때 아래층을 봐야 해요.

증상	봐야 할 층
돈 계산이 틀림	숫자 표현 (3강)
같은 코드인데 10배 느림	캐시 (8강)
메모리가 갑자기 참	가상 메모리 (9강)

추상화는 새는 파이프다 — 가끔 아래가 비친다

ALU — 계산 담당 부서

덧셈기·비교기·비트 연산기를 한데 묶어 놓은 것이 ALU(산술논리연산장치)입니다. CPU 안에서 실제로 '계산'을 하는 유일한 부품이에요.

ALU에게는 두 개의 입력값과 "무슨 연산을 할지 고르는 신호"가 들어갑니다. 그 신호를 만들어 주는 게 5강에서 볼 제어장치고요.

비트 연산은 실무에서도 쓰입니다

리눅스 권한 chmod 755가 바로 비트입니다. 읽기·쓰기·실행이 각각 한 비트예요.

chmod 755 의 정체는 비트 플래그입니다.

Python 브라우저에서 실행

읽기, 쓰기, 실행 = 4, 2, 1

권한 = 읽기 | 쓰기 | 실행       # 7 = rwx
print("rwx =", 권한, format(권한, "03b"))

권한 = 읽기 | 실행              # 5 = r-x
print("r-x =", 권한, format(권한, "03b"))
print()

# "쓰기 권한이 있나?" 는 AND 로 검사한다
for p in (7, 5, 4):
    있나 = (p & 쓰기) != 0
    print(f"{p} ({format(p,'03b')}) → 쓸 수 있나? {있나}")
print()

# chmod 755 를 뜯어보면
for 자리, 누구 in zip("755", ["주인", "그룹", "기타"]):
    n = int(자리)
    print(f"{누구}: {n} = "
          f"{'r' if n & 4 else '-'}{'w' if n & 2 else '-'}{'x' if n & 1 else '-'}")

권한 비트를 직접 바꿔 봅니다.

bash 브라우저에서 실행

# 서버에서 확인
ls -l /usr/bin/ls
chmod 640 /home/jit/welcome.txt
ls -l /home/jit/welcome.txt

고등학생NAND 하나면 충분하다

더 놀라운 사실 — 사실 세 개도 필요 없습니다.

NAND(AND 의 반대) 하나로 전부 만들 수 있다

NAND 가 뭔가

A	B	AND	NAND
0	0	0	1
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	0

NAND 로 NOT 만들기

두 입력에 같은 신호를 넣으면?

입력	NAND(A,A)
0	1
1	0

NOT 이 나왔다 — 게이트 하나로

그리고 AND 는

NAND 뒤에 NOT 을 붙이면 됩니다. NOT 도 NAND 로 만드니까 — NAND 두 개로 AND 완성.

OR 도 마찬가지 — NAND 세 개면 된다

왜 이게 중요한가

이유	설명
제조	한 종류만 찍어 내면 된다
싸다	대량 생산의 힘
검증	한 부품만 검사하면 된다

부품 한 종류로 세상의 모든 계산을 한다

비유 — 벽돌

벽돌 한 종류로 집도 성도 다리도 짓습니다. 모양이 아니라 배치가 건물을 정하죠.

다만 실제 CPU 는 속도 때문에 여러 게이트를 씁니다. NAND 만 쓰면 단계가 늘어서 느려지거든요.

가능한 것과 실용적인 것은 다르다

🤔 확인 문제

XOR 게이트가 덧셈에서 맡는 역할은?

해설 1+1은 2진수로 10 이라 그 자리에는 0이 남고 1이 위로 올라갑니다. '남는 자리'는 XOR(다를 때만 1), '올라가는 것'은 AND(둘 다 1일 때만 1)예요.

🤔 확인 문제

CPU에 뺄셈 전용 회로가 따로 없는 이유는?