7강 / 20강

로그를 씌운다 — 그리고 그 +1 은 무엇인가

log2(x+1) 이 거의 언제나 붙어 있는 까닭

발현 자료를 다루는 코드에는 거의 예외 없이 이 줄이 있습니다.

log2(x + 1)

왜 로그를 씌울까요? 그리고 왜 하필 +1 일까요? 두 물음의 답이 다릅니다.

고등학생로그를 씌운다

발현 자료에는 거의 언제나 log2(x+1)이 붙어 있습니다. 왜일까요?

이유	내용
발현은 곱셈으로 움직임	2배·10배로 말함
분산 안정화	높은 발현의 분산이 큼
극단값 완화	몇몇 유전자가 압도하지 않게
분포가 정규에 가까워짐	통계 도구가 잘 작동

로그를 씌우면 2배 차이가 어디서나 같은 거리가 됩니다.

최대값이 중앙값의 24배입니다. 이런 자료에 평균을 쓰면 소수의 극단값이 결론을 정합니다.

Python 브라우저에서 실행

import numpy as np
import tcga

e = tcga.expr()
v = e.loc["EGFR"].dropna().values

print("EGFR 발현 (RSEM) — 566 표본")
print("   최소   %10.1f" % v.min())
print("   중앙값 %10.1f" % np.median(v))
print("   평균   %10.1f" % v.mean())
print("   최대   %10.1f" % v.max())
print()
print("평균이 중앙값보다 %.1f배 큽니다." % (v.mean() / np.median(v)))
print("한쪽으로 길게 늘어진 분포라는 뜻이에요.")

왼쪽은 한 덩어리로 뭉쳐 있고 오른쪽은 퍼져 있습니다. 퍼져 있어야 통계가 작동합니다.

Python 브라우저에서 실행

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import tcga

e = tcga.expr()
v = e.loc["EGFR"].dropna().values

fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(9, 3.4))
ax[0].hist(v, bins=50, color="#c65b5b")
ax[0].set_title("raw RSEM")
ax[1].hist(np.log2(v + 1), bins=50, color="#4a7fa5")
ax[1].set_title("log2(x+1)")
for a in ax:
    a.set_ylabel("표본 수")
plt.tight_layout()
plt.show()

고등학생그 +1은 무엇인가

log(0)이 정의되지 않습니다. 그래서 1을 더해요.

x	log2(x+1)
0	0
1	1
3	2
1023	10

0이 자연스럽게 0으로 남습니다 — 그것이 +1의 목적이에요.

같은 2배는 로그 위에서 늘 같은 거리(1.00)입니다. 그것이 로그가 하는 일이에요.

Python 브라우저에서 실행

import numpy as np

for a, b in [(100, 200), (1000, 2000), (100, 1100)]:
    차이 = b - a
    배수 = b / a
    로그차 = np.log2(b + 1) - np.log2(a + 1)
    print("%5d → %5d   차이 %5d   배수 %4.1f   로그차 %.2f" % (a, b, 차이, 배수, 로그차))

고등학생왜 하필 1인가

더하는 값	효과
1	0 → 0 · 관례
0.5	작은 값의 차이를 더 벌림
0.01	0 근처가 아주 음수로 — 불안정

작은 값을 더할수록 0 근처의 노이즈가 증폭됩니다.

1이 관례가 된 것은 편의와 안정성 때문이에요. 다른 값을 쓰면 명시해야 합니다.

ALK 와 TERT 는 실제로 0인 표본이 있습니다. 지어낸 걱정이 아니에요.

Python 브라우저에서 실행

import numpy as np
import tcga

e = tcga.expr()
# 0에 가까운 값이 실제로 있는가
for g in ["ALK", "TERT", "PDCD1"]:
    v = e.loc[g].dropna().values
    print("%-7s 0인 표본 %3d개 · 1 미만 %3d개 · 최소 %.3f"
          % (g, (v == 0).sum(), (v < 1).sum(), v.min()))
print()
print("+1 이 없으면 위 표본들에서 계산이 -inf 로 무너집니다.")

고등학생두 번 씌우는 실수

상황	결과
이미 로그인 자료에 또 로그	값이 더 압축됨
겉보기	0~4 정도 — 멀쩡해 보임
결과	차이가 다 사라짐

확인 방법 — 최댓값이 20 미만이면 이미 로그일 가능성이 큽니다.

🤔 확인 문제

log2(x+1) 의 +1 은 왜 붙어 있나요?

🤔 확인 문제

발현량에 로그를 씌우는 가장 큰 이유는?