7강 / 20강

정규화 ② — 왜 log2 를 씌우나

1 = 두 배, 그리고 +1 의 정체

유전자 발현량에는 고약한 성질이 있습니다. 값의 범위가 어마어마하게 넓어요. 어떤 유전자는 CPM 0.5, 어떤 유전자는 CPM 20,000. 4만 배 차이입니다. 이 둘을 한 그래프에 그리면 작은 쪽은 바닥에 딱 붙어 아무것도 안 보입니다.

게다가 생물학적으로 의미 있는 변화는 뺄셈이 아니라 나눗셈입니다. "10 늘었다"보다 "2배가 됐다"가 훨씬 쓸모 있는 정보예요.

그냥 CPM

100 → 200   : +100
 10 →  20   : +10

둘 다 '두 배'인데 숫자가 딴판

log2 CPM

6.64 → 7.64 : +1
3.32 → 4.32 : +1

두 배 = 언제나 +1

log2 를 씌우면 곱셈이 덧셈이 됩니다. 2배 = +1, 4배 = +2, 8배 = +3, 절반 = −1. 이 성질 때문에 생물정보학은 log2 를 기본 눈금으로 씁니다. 앞으로 계속 나올 log2FC(fold change)가 바로 이 눈금 위의 뺄셈이에요.

고등학생1 = 두 배

/py 14강과 /chem 4강에서 로그를 배웠다면, 여기서는 실제 자료에 씁니다.

log2 눈금에서 1 차이 = 2배

배수	log2	읽기
4배	+2	많이 늘었다
2배	+1	두 배
그대로	0	변화 없음
절반	−1	반으로 줄었다
1/4	−2	많이 줄었다

2배와 절반이 +1 과 −1 — 대칭이 된다

이 감각이 20강 내내 쓰입니다

앞으로 log2FC 라는 값이 계속 나옵니다. 그때마다 배수로 바꿔 생각하세요.

log2FC	몇 배
−0.70 (Cd47)	약 0.61배 — 39% 감소
−0.81 (Ddx54)	약 0.57배 — 43% 감소

−0.8 정도면 절반 가까이 줄어든 것

왜 배수로 안 쓰고 로그로 쓰나

세 가지 이유가 있습니다.

대칭 — 위와 아래가 같은 크기로 보인다
더하기가 된다 — 곱셈이 덧셈으로 (10강에서 씀)
분포가 좋아진다 — 종 모양에 가까워진다

두 번째가 통계에서 결정적이다

평균과 분산을 계산하려면 덧셈이 자연스러워야 하거든요. 로그를 씌우면 배수의 평균이 로그의 평균이 됩니다.

log2 눈금 위에서는 '몇 배'가 곧 '얼마나 떨어져 있나'가 됩니다.

Python 브라우저에서 실행

import numpy as np

print("배수 ↔ log2 대응표")
for 배수 in [0.125, 0.25, 0.5, 1, 2, 4, 8, 16]:
    print(f"  {배수:6.3f} 배  →  log2 = {np.log2(배수):+.0f}")

print()
print("'두 배'는 출발점이 어디든 항상 +1 입니다:")
for a in [10, 100, 5000]:
    print(f"  {a:6d} → {a*2:6d}   log2 차이 = {np.log2(a*2) - np.log2(a):+.2f}")

고등학생'몇 배'가 '얼마나 떨어져 있나'가 됩니다

캡션의 이 문장이 로그의 핵심입니다.

log2 눈금 위에서는 거리 = 배수

무슨 뜻인가

원래 값	차이	비
10 과 20	10	2배
100 과 200	100	2배

원래 눈금에서는 차이가 10배 나는데 비는 같습니다.

log2 값	차이
3.32 와 4.32	1.00
6.64 와 7.64	1.00

로그 눈금에서는 같은 배수 = 같은 거리

그래서 뺄셈이 나눗셈이 됩니다

log2(a) − log2(b) = log2(a/b)

10강에서 평균을 빼서 log2FC 를 구하는 이유가 이겁니다.

로그 공간에서 빼면 곧 배수가 나온다

비유 — 지도의 축척

지도에서 1cm 가 1km 라고 합시다. 어디를 재도 1cm 는 1km 예요.

로그 눈금도 그렇습니다 — 어디를 재도 1 칸은 2배 입니다.

눈금이 균일해지면 다루기 쉬워진다

이게 로그를 씌우는 진짜 이유예요. "작은 값이 안 보여서" 는 부수적인 이득이고요.

+1 은 왜 붙이나 — `log2(CPM + 1)`

여기에 함정이 하나 있습니다. log2(0) 은 음의 무한대예요. RNA-seq 표에는 0이 아주 많습니다 (그 유전자가 아예 안 켜진 세포). 그대로 로그를 씌우면 표 곳곳에 -inf 가 박혀 이후 계산이 전부 망가집니다.

np.log2(cpm) → 0 인 칸이 -inf 로 폭발 np.log2(cpm + 1) → 0 인 칸이 0.0 으로 안전 착륙

+1 을 의사 카운트(pseudocount) 라고 부릅니다. 큰 값에는 거의 영향이 없고(20000 → 20001, 차이 없음), 작은 값 근처만 부드럽게 눌러 줍니다. 공짜는 아니에요 — 아주 낮은 발현의 배수 차이는 조금 과소평가됩니다. 그 대신 안정성을 얻습니다.

-inf 가 실제로 어떻게 생기는지 눈으로 봅니다.

Python 브라우저에서 실행

import numpy as np

값 = np.array([0.0, 0.5, 1.0, 10.0, 1000.0, 20000.0])

print(f"{'CPM':>10s}{'log2(x)':>12s}{'log2(x+1)':>12s}")
for v in 값:
    with np.errstate(divide="ignore"):
        raw = np.log2(v)
    print(f"{v:10.1f}{raw:12.3f}{np.log2(v+1):12.3f}")

print()
print("→ 0 이 -inf 가 되는 것을 +1 이 막아 줍니다.")
print("→ 큰 값에서는 두 열의 차이가 거의 없습니다 (20000 vs 20001).")

고등학생−inf 가 실제로 어떻게 생기는지

코드가 −inf(음의 무한대)를 일부러 만들어 보여 줍니다. 좋은 교육이에요.

log2(0) = −∞

왜 문제인가

계산	결과
평균	−inf — 하나만 있어도 전체가 감염
표준편차	nan (계산 불가)
그래프	못 그린다

−inf 하나가 전체 계산을 오염시킨다

발현량 0 은 얼마나 흔한가

아주 흔합니다. 세포에서 안 켜진 유전자가 많으니까요. 2만 개 중 수천 개가 0 일 수 있습니다.

해결 — +1

np.log2(cpm + 1)

cpm	+1	log2(cpm+1)
0	1	0 ✔ 깔끔하다
1	2	1
1000	1001	9.97 — 거의 영향 없음

0 은 0 이 되고 큰 값은 거의 안 변한다

이걸 유사계수라고 합니다

/py 14강과 /chem 에서도 나온 그 발상 — 정확성을 조금 내주고 안정성을 얻는 것.

그런데 대가가 있습니다

작은 값에서는 왜곡이 생깁니다.

진짜 배수	+1 후 log2 차이
1 → 2 (2배)	0.58 (2배가 아님)
100 → 200 (2배)	0.99 (거의 정확)

작은 값일수록 배수가 축소되어 보인다

그래서 9강의 저발현 필터가 필요합니다 — 어차피 못 믿을 작은 값을 미리 빼 두는 거예요.

🎮 배수 ↔ log2 변환기

슬라이더를 움직여 두 값을 바꿔 보세요. 몇 배인지, log2FC 로는 얼마인지가 동시에 나옵니다. log2FC = −1 이 '절반' 이라는 감각을 여기서 만들어 두면 14강 이후가 훨씬 쉬워집니다.

고등학생이 강의 한 줄

note 가 7강을 한 줄로 줄입니다. 그 한 줄을 붙잡고 가면 됩니다.

log2 를 씌우면 배수가 거리가 되고, +1 이 0 을 구한다

앞으로 어디에 쓰이나

강	쓰임
8강	녹다운 확인 — Δ = KD − WT
10강	log2FC = 평균의 차이
14강	표의 logFC 열
16강	화산도의 가로축
17강	순위를 매기는 기준

7강의 감각이 13강에서 계속 쓰인다

지금 확인해 볼 것

다음 값들을 배수로 바꿔 보세요. 암산으로요.

log2FC	배수
+1	2배
−1	절반
+0.5	약 1.4배
−0.5	약 0.7배
+3	8배

0.5 ≈ 1.4배 (√2) 만 외워 두면 편하다

그리고 논문 읽을 때

논문에서 log2FC = 0.3 같은 문턱을 보면 "1.23배구나" 하고 바로 나와야 합니다.

/immunology 9강에서 CD47 이 −0.69 였죠 — 약 38% 감소입니다. 이제 암산으로 나옵니다.

🤔 확인 문제

log2FC 가 +2 라면 발현량은 몇 배가 된 것인가요?

🤔 확인 문제

np.log2(cpm + 1) 에서 +1 을 빼면 무슨 일이 생기나요?

해설 log2(0) = -inf 입니다. RNA-seq 표에는 0이 매우 많으므로, +1 이 없으면 표 곳곳이 -inf 로 오염됩니다.

🤔 확인 문제

발현량에 로그를 씌우는 가장 큰 이유는?

+1 은 왜 붙이나 — log2(CPM + 1)

🎮 배수 ↔ log2 변환기

+1 은 왜 붙이나 — `log2(CPM + 1)`