10강 / 20강

두 그룹 비교 ① — 차이와 흩어짐

log2FC 는 신호, 분산은 잡음

드디어 비교입니다. 유전자 13,095개 각각에 대해 물어봅시다 — KD 그룹과 WT 그룹의 값이 다른가?

가장 먼저 떠오르는 답은 평균의 차이입니다.

lfc = b.mean(1) - a.mean(1) # KD 평균 − WT 평균

이미 log2 눈금 위에 있으니, 이 뺄셈 하나가 곧 log2 fold change 입니다. 7강에서 만들어 둔 감각을 그대로 씁니다 — −1 이면 절반, +1 이면 두 배.

📏

신호 (signal)

두 그룹 평균의 차이 = log2FC

〰️

잡음 (noise)

같은 그룹 안에서의 흔들림 = 분산

⚖️

t = 신호 ÷ 잡음

잡음 대비 얼마나 큰 차이인가

왜 차이만으로는 부족할까요? 8강 위젯에서 이미 봤습니다. WT 4개 안에서도 값이 조금씩 흔들리죠. 만약 그룹 안의 흔들림이 그룹 간 차이만큼 크다면, 그 차이는 우연으로도 충분히 생길 수 있습니다.

고등학생log2FC 는 신호, 분산은 잡음

부제가 이 강의의 전부입니다.

차이(신호)와 흩어짐(잡음)을 따로 잰다

두 값을 계산합니다

값	계산	뜻
log2FC	KD 평균 − WT 평균	얼마나 달라졌나
분산	군 안의 흩어짐	얼마나 못 미더운가

7강의 그 성질 — 로그에서 빼면 배수가 된다

순서가 중요합니다

퀴즈가 "a 와 b 의 순서를 바꾸면?" 을 묻습니다.

부호가 뒤집힌다

계산	Ddx54	읽기
KD − WT	−0.81	KD 에서 줄었다 ✔
WT − KD	+0.81	WT 에서 늘었다 (같은 말)

둘 다 맞는 말인데 읽는 방향이 반대예요. 그래서 어느 쪽을 기준으로 했는지 반드시 적어야 합니다.

부호 하나가 결론을 뒤집는다

관례

보통 실험군 − 대조군 으로 씁니다. "처리했더니 어떻게 됐나" 를 보는 것이니까요.

논문에서 logFC 가 음수면 "처리군에서 줄었다" 로 읽으면 대개 맞습니다. 다만 확인은 해야죠.

고등학생여기서부터 import bio

note 가 재미있는 걸 알려 줍니다 — 지금까지 직접 쓴 코드를 bio.py 라는 파일로 묶었다고요.

9강까지의 코드를 도구로 만들었다

왜 이렇게 하나

이유	설명
짧아진다	매번 30줄 대신 `bio.load()` 한 줄
실수가 준다	한 번 검증한 코드를 다시 쓴다
본론에 집중	준비 작업이 뒤로 빠진다

되풀이를 이름으로 묶는 것 — /py 7강의 함수와 같다

이게 실제 작업 방식입니다

연구자들이 실제로 이렇게 일합니다 —

한 번은 손으로 짜 본다 (원리를 이해한다)
도구로 묶는다
그다음부터는 가져다 쓴다

이해한 뒤에 추상화한다 — 순서가 중요하다

거꾸로 하면 위험합니다

처음부터 라이브러리만 쓰면 안이 안 보입니다. 그러면 결과가 이상할 때 원인을 못 찾아요.

/py 8강의 "Biopython 을 쓰지만 한 번은 손으로" 와 같은 이야기입니다.

도구는 이해를 대신하지 못한다 — 다만 시간을 아껴 준다

이 강의가 9강까지 손으로 시킨 이유가 그거예요. 이제 믿고 쓸 수 있습니다.

평균 차이만으로 이미 방향은 보입니다. 하지만 아직 '믿을 만한가'는 모릅니다.

Python 브라우저에서 실행

import numpy as np
import bio                              # 9강까지 만든 코드 꾸러미

L = bio.logcpm()                        # 13,095 × 7 log2CPM 표
M = L.values
a, b = M[:, :4], M[:, 4:]               # a = WT 4개, b = KD 3개

lfc = b.mean(1) - a.mean(1)             # 신호
va, vb = a.var(1, ddof=1), b.var(1, ddof=1)   # 각 그룹의 흩어짐

for g in ["Ddx54", "Cd47", "Myc"]:
    i = L.index.get_loc(g)
    print(f"{g:7s} WT평균 {a[i].mean():5.2f}  KD평균 {b[i].mean():5.2f}"
          f"  log2FC {lfc[i]:+.2f}   WT분산 {va[i]:.4f}")

print()
print(f"내려간 유전자 {int((lfc < 0).sum()):,}개 · 올라간 유전자 {int((lfc > 0).sum()):,}개")

고등학생ddof=1 은 왜 붙일까

note 가 ddof=1 이라는 옵션을 설명합니다. 작아 보이지만 통계의 기본이에요.

분산을 계산할 때 n 이 아니라 n−1 로 나눈다

왜 n−1 인가

우리가 가진 건 표본이지 모집단이 아니기 때문입니다.

나누는 수	언제	결과
n	모집단 전체를 알 때	정확
n−1	표본일 때	과소추정을 보정

표본으로 계산하면 흩어짐이 실제보다 작게 나온다

왜 작게 나오나

표본평균은 그 표본에 가장 가까운 값입니다. 그러니 그 평균에서 잰 거리도 가장 작아요.

진짜 평균(모평균)에서 재면 더 크게 나옵니다.

그 차이를 메우려고 분모를 줄인다

비유 — 과녁의 중심

화살을 세 발 쏘고 세 발의 한가운데를 중심이라고 칩니다. 그러면 중심에서의 거리가 실제보다 작게 나오죠.

진짜 과녁 중심은 다른 데 있을 테니까요.

n 이 작을수록 차이가 큽니다

n	n−1 로 나누면
3	1.5배 커진다
10	1.11배
100	1.01배 — 거의 같다

반복이 3~4개 인 이 실험에서는 꽤 중요하다

numpy 의 기본값은 ddof=0(n으로 나눔) 이라 반드시 적어 줘야 합니다. 안 적으면 조용히 틀려요.

두 그룹의 흩어짐을 하나로 — 합동분산(pooled variance)

WT 의 분산과 KD 의 분산이 따로 있습니다. 하나로 합쳐야 t 를 만들 수 있어요. 그런데 WT 는 4개, KD 는 3개라 정보의 양이 다릅니다. 그래서 단순 평균이 아니라 자유도만큼 가중치를 주어 합칩니다.

d = (na - 1) + (nb - 1) # 3 + 2 = 5, 전체 자유도 s2 = (va*(na-1) + vb*(nb-1)) / d # 가중 평균

샘플이 많은 쪽 의견에 무게를 더 싣는 것입니다. 아주 상식적이죠.

분산의 범위가 5만 배. 이 불안정함이 11강의 주제입니다.

Python 브라우저에서 실행

import numpy as np
import bio

L = bio.logcpm(); M = L.values
a, b = M[:, :4], M[:, 4:]
na, nb = a.shape[1], b.shape[1]

d  = (na - 1) + (nb - 1)                                  # 5
s2 = (a.var(1, ddof=1)*(na-1) + b.var(1, ddof=1)*(nb-1)) / d
s2 = np.maximum(s2, 1e-8)                                 # 0으로 나누기 방지

print(f"자유도 d = ({na}-1) + ({nb}-1) = {d}")
print()
print("유전자 13,095개의 분산은 이렇게 흩어져 있습니다:")
print(f"  가장 작은 분산 {s2.min():.2e}")
print(f"  중앙값        {np.median(s2):.4f}")
print(f"  가장 큰 분산  {s2.max():.2f}")
print()
print(f"→ 가장 작은 값과 큰 값이 {s2.max()/s2.min():,.0f} 배 차이납니다.")
print("   다음 강에서 바로 이것이 문제가 됩니다.")

고등학생분산의 범위가 5만 배

코드가 놀라운 걸 보여 줍니다 — 유전자마다 분산이 5만 배 차이 납니다.

어떤 유전자는 아주 안정하고 어떤 유전자는 미쳐 날뛴다

왜 이렇게 다른가

유전자	분산	왜
항상 켜져 있는 것	작다	세포마다 비슷하게 필요
상황에 따라 변하는 것	크다	조건에 민감
발현이 아주 낮은 것	크다	작은 값은 상대 오차가 크다

그런데 이게 문제가 됩니다

t 값 = 차이 ÷ 흩어짐 이었죠. 분모(흩어짐)가 우연히 아주 작으면 t 가 확 커집니다.

차이가 작아도 분모가 작으면 1등이 될 수 있다

비유 — 나눗셈의 함정

차이	흩어짐	t
2.0	1.0	2.0
0.1	0.01	10.0 ← 1등!

두 번째는 차이가 거의 없는데 t 가 훨씬 큽니다. 우연히 조용했을 뿐인데요.

이 불안정함이 11강의 주제다

반복이 적으면 더 심합니다

3~4개로 흩어짐을 재면 그 값 자체가 못 미덥습니다. 우연히 세 값이 비슷하면 분산이 아주 작게 나와요.

그리고 13,095개나 되니 그런 유전자가 반드시 나옵니다. /stat 14강의 동전 던지기 대회가 여기서도예요.

🎮 신호와 잡음을 직접 만들어 보기

두 그룹의 값을 직접 바꿔 보세요. 평균 차이는 그대로 두고 흩어짐만 키우면 t 가 어떻게 무너지는지 보입니다.

🤔 확인 문제

lfc = b.mean(1) - a.mean(1) 에서 a 와 b 의 순서를 바꾸면?

해설 KD − WT 로 정했기 때문에 음수 = KD 에서 내려감 입니다. 순서를 바꾸면 부호가 전부 뒤집혀 결론을 정반대로 읽게 됩니다 — 실제로 자주 나는 사고입니다.

🤔 확인 문제

분산을 계산할 때 ddof=1 을 쓰는 이유는?

해설 표본 평균은 그 표본에 가장 잘 맞는 값이라, 그대로 두면 흩어짐이 실제보다 작게 나옵니다. n−1 로 나눠 이를 보정합니다.

🤔 확인 문제

합동분산에서 (na-1), (nb-1) 로 가중치를 주는 까닭은?