3강 / 20강

상관계수로는 놓친다 — 곧은 자로 휜 것을 재면

왜 아라크네는 상관계수를 쓰지 않는가

"두 유전자가 같이 움직이는가"를 재는 가장 익숙한 도구는 피어슨 상관계수 r 입니다.

r = Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ) / √( Σ(xᵢ−x̄)² · Σ(yᵢ−ȳ)² )

−1 에서 +1 사이의 값이고, 뜻은 이렇습니다.

r = +1 — 완벽한 직선 관계, 한쪽이 오르면 다른 쪽도 정확히 오른다
r = 0 — 직선 관계가 없다
r = −1 — 완벽한 직선, 방향만 반대

가운데 항목을 다시 읽어 보세요. "관계가 없다"가 아니라 "직선 관계가 없다"입니다. 이 차이가 이 강의 전체의 출발점입니다.

고등학생곧은 자로 휜 것을 재면

상관계수(피어슨 r)는 직선 관계 를 잰다.

직선이 아니면?

관계 모양	상관계수	실제 관련
직선	큼	있음
U 자 · 산 모양	0 에 가까움	있음
계단	중간	있음

두 번째 줄이 문제다. 완벽한 관계 인데 상관계수가 0 이다.

상관계수 0 은 "관계 없음" 이 아니라 "직선 관계 없음" 이다

진짜로 이어진 쌍은 r 이 0.7~0.85, 아무 관계 없는 쌍은 0 근처입니다. 여기까지는 상관계수로 충분해 보입니다.

Python 브라우저에서 실행

# 우리 자료에서 상관계수가 잘 통하는 쌍부터 봅니다.
import numpy as np
from arac import load_expr

genes, X, samples = load_expr("arac_expr.bin")
g = {name: X[i] for i, name in enumerate(genes)}

def r(a, b):
    return float(np.corrcoef(g[a], g[b])[0, 1])

for a, b in [("DDX54", "MYC"), ("MYC", "NPM1"), ("HIF1A", "PGK1"),
             ("NFKB1", "CXCL1"), ("GAPDH", "ACTB")]:
    print(f"{a:7s}–{b:8s}  r = {r(a, b):+.3f}")

r = −0.18. 이 정도 값이면 어떤 분석에서도 그냥 버려집니다.

Python 브라우저에서 실행

# 정답 명부에 있는 진짜 관계인데, 상관계수는 뭐라고 할까요?
import numpy as np
from arac import load_expr, true_edges

genes, X, samples = load_expr("arac_expr.bin")
g = {name: X[i] for i, name in enumerate(genes)}

print("IL10–NFKB1 은 정답 간선인가?",
      ("IL10", "NFKB1") in true_edges())
print()
print("피어슨 r =", round(float(np.corrcoef(g["NFKB1"], g["IL10"])[0, 1]), 3))

# 순위로 바꿔서 재는 스피어만도 마찬가지입니다 (단조 관계만 잡으므로)
from scipy import stats
rho = stats.spearmanr(g["NFKB1"], g["IL10"]).statistic
print("스피어만 ρ =", round(float(rho), 3))
print()
print("→ 둘 다 '관계 없음'이라고 말합니다. 하지만 진짜 관계입니다.")

고등학생유전자 조절이 왜 직선이 아닌가

기전	모양
포화	어느 수준 이상은 더 안 늘어남
문턱	일정 수준 넘어야 켜짐 — 계단
이중 역할	적당하면 켜고 많으면 끔 — 산 모양
다른 인자와의 조합	맥락에 따라 방향이 바뀜

세 번째가 실제로 흔하다

전사인자가 낮은 농도에서는 활성자, 높은 농도에서는 억제자 로 작동하는 경우가 많다.

그러면 발현 산점도가 뒤집힌 U 모양이 된다.

생물학적 조절은 대개 비선형이다 — 그래서 선형 도구로는 놓친다

무슨 일이 일어난 걸까

IL10 은 NFKB1 에 U 자로 반응하도록 만들어 둔 유전자입니다. NFKB1 이 아주 낮을 때도 높고, 아주 높을 때도 높고, 중간일 때 낮습니다 (실제 생물학에도 이런 관계가 흔합니다 — 너무 적어도 문제, 너무 많아도 문제인 경우).

직선 자로 이 모양을 재면 어떻게 될까요? 왼쪽 절반은 내려가는 관계, 오른쪽 절반은 올라가는 관계입니다. 둘이 서로를 지워서 합계가 0 근처가 됩니다. 관계가 없어서 0 이 아니라, 관계가 두 방향이라 0인 거예요.

🎮 여섯 쌍을 눈으로 비교하기

같은 자료를 상관계수와 상호정보량 두 자로 재 봅니다. NFKB1–IL10 을 눌러 보세요 — 눈에는 뻔히 보이는 무늬를 r 은 못 봅니다.

고등학생앤스콤의 4중주

통계학의 고전적 예시다. 평균 · 분산 · 상관계수가 모두 같은 네 자료가 그림으로는 완전히 다르다.

자료	모양
1	보통의 직선 관계
2	곡선
3	직선 + 극단값 하나
4	수직선 + 극단값 하나

교훈

요약 통계만 보고 그림을 안 보면 속는다.

ARACNe 가 상호정보량을 쓰는 이유가 이것이다 — 모양에 상관없이 관계를 잡으려고.

숫자 하나로 요약하면 그 숫자가 못 담는 것이 반드시 있다

MI 의 단위는 비트(bit)입니다. 5강에서 이 숫자가 무슨 뜻인지 배웁니다.

Python 브라우저에서 실행

# 미리 보기 — 같은 두 쌍을 MI 로 재면 답이 달라집니다.
from arac import load_expr, rank_transform, mi_bins, mi_gauss
import numpy as np

genes, X, samples = load_expr("arac_expr.bin")
U = rank_transform(X)                       # 7강에서 배울 순위 변환
ix = {name: i for i, name in enumerate(genes)}

print(f"{'쌍':20s}{'피어슨 r':>10s}{'MI(비트)':>10s}")
print("-" * 40)
for a, b in [("DDX54", "MYC"), ("MYC", "NPM1"), ("NFKB1", "IL10"), ("GAPDH", "ACTB")]:
    r = float(np.corrcoef(X[ix[a]], X[ix[b]])[0, 1])
    mi = mi_bins(U[ix[a]], U[ix[b]], bins=7)
    print(f"{a+'–'+b:20s}{r:>+10.3f}{mi:>10.3f}")

print()
print("NFKB1–IL10 : r 은 0 근처인데 MI 는 GAPDH–ACTB 의 네 배가 넘습니다.")

MI 는 '얼마나 알 수 있나'만 잽니다. 방향은 따로 챙겨야 합니다.

Python 브라우저에서 실행

# MI 에는 부호가 없다는 것을 직접 확인해 봅시다.
import numpy as np
from arac import load_expr, rank_transform, mi_bins

genes, X, samples = load_expr("arac_expr.bin")
U = rank_transform(X)
ix = {name: i for i, name in enumerate(genes)}

x = U[ix["MYC"]]
y = U[ix["NPM1"]]

print("원래 :  r =", round(float(np.corrcoef(x, y)[0, 1]), 3),
      "  MI =", round(mi_bins(x, y, 7), 3))

# y 를 뒤집어 봅니다 (관계의 방향만 반대로)
print("뒤집기:  r =", round(float(np.corrcoef(x, 1 - y)[0, 1]), 3),
      "  MI =", round(mi_bins(x, 1 - y, 7), 3))

print()
print("r 은 부호가 뒤집혔지만 MI 는 한 글자도 안 바뀌었습니다.")

고등학생그럼 상관계수는 쓸모없나

상관계수의 장점	내용
계산이 빠름	공식 하나
추정이 필요 없음	MI 는 분포를 추정해야
표본이 적어도 됨	—
방향이 있음	양의 상관 · 음의 상관

마지막이 의외의 장점이다

상호정보량은 부호가 없다. "관련 있다" 만 말하고 어느 방향인지 는 안 알려 준다.

상관계수는 같이 오르나 반대로 가나 를 알려 준다.

그래서 함께 쓰기도 한다

MI 로 관계가 있는지 찾고, 상관계수 부호로 방향 을 붙인다.

더 일반적인 도구가 더 좋은 도구는 아니다 — 잃는 정보가 있다

🤔 확인 문제

피어슨 상관계수 r = 0 이 뜻하는 것으로 정확한 것은?

🤔 확인 문제

우리 자료에서 NFKB1–IL10 은 r = −0.18 인데 MI 는 0.408 로 큽니다. 왜일까요?

🤔 확인 문제

아라크네가 상관계수를 완전히 버리지 않고 남겨 두는 곳은 어디일까요?