8강 / 20강

집합 연산 — 겹치는 부분, 합친 부분, 빼는 부분

벤 다이어그램은 진리표의 그림 버전입니다

집합 두 개가 있으면 그 사이에서 새 집합을 만들 수 있습니다. 놀랍게도 2강에서 배운 논리 연산과 하나씩 짝이 맞습니다.

연산	기호	뜻	논리로 보면	파이썬
교집합	A ∩ B	둘 다에 있는 것	x∈A ∧ x∈B	`A & B`
합집합	A ∪ B	하나라도에 있는 것	x∈A ∨ x∈B	`A \| B`
차집합	A − B	A에는 있고 B에는 없는 것	x∈A ∧ ¬(x∈B)	`A - B`
여집합	A^c	A 밖의 모든 것	¬(x∈A)	`U - A`
대칭차	A △ B	한쪽에만 있는 것	x∈A ⊕ x∈B	`A ^ B`

파이썬 기호가 &, |, ^ 인 것도 우연이 아닙니다 — 비트 연산과 같은 기호예요. 논리·집합·비트는 같은 것의 세 얼굴입니다.

고등학생벤 다이어그램은 진리표의 그림 버전

부제가 4강과의 연결을 말합니다.

집합 연산과 논리 연산은 같은 구조다

논리	집합	뜻
∧	∩ 교집합	둘 다
∨	∪ 합집합	하나라도
¬	여집합	아닌 것

x ∈ A∩B ⟺ (x∈A) ∧ (x∈B) — 정의가 그렇다

그래서 규칙도 같습니다

논리 (4강)	집합
¬(A∧B) = ¬A∨¬B	(A∩B)ᶜ = Aᶜ∪Bᶜ
분배법칙	그대로 ✔
흡수법칙	그대로 ✔

4강을 배웠으면 8강은 이미 아는 것이다

왜 이런 일이 생기나

둘 다 부울대수라는 같은 구조이기 때문입니다.

다른 예	—
논리	참/거짓
집합	포함/불포함
회로	전압 있음/없음

겉모습이 셋인데 속은 하나다 — 수학이 하는 일이 이것이다

비유 — 같은 악보 다른 악기

피아노로 치든 기타로 치든 같은 곡입니다. 소리는 다른데 구조는 같죠.

구조를 배우면 모든 악기에 통한다

학생 명단으로 다섯 연산을 한 번에 확인합니다.

Python 브라우저에서 실행

파이썬반 = {"민준", "서연", "지호", "하윤"}
자바반   = {"지호", "하윤", "예준", "도윤"}

print("둘 다 듣는 학생  A ∩ B :", sorted(파이썬반 & 자바반))
print("한 과목이라도    A ∪ B :", sorted(파이썬반 | 자바반))
print("파이썬만         A - B :", sorted(파이썬반 - 자바반))
print("한쪽만           A △ B :", sorted(파이썬반 ^ 자바반))
print()
print(f"|A|={len(파이썬반)}  |B|={len(자바반)}  |A∪B|={len(파이썬반 | 자바반)}"
      f"  |A∩B|={len(파이썬반 & 자바반)}")

🎮 벤 다이어그램을 직접 칠해 보세요

영역을 클릭하면 색이 칠해지고, 그 영역에 해당하는 집합 식과 원소 목록이 함께 나옵니다. ∩, ∪, − 를 눈으로 익혀 보세요.

고등학생|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

note 의 이 식이 17강 포함배제의 씨앗입니다.

더하면 겹친 부분을 두 번 셌으니 한 번 뺀다

그림으로

영역	\|A\|+\|B\| 에서 센 횟수
A 만	1
A∩B	2 ⚠
B 만	1

한 번씩만 세려면 겹침을 한 번 빼면 된다

실전 예

30명 반에서 수학 좋아하는 사람 18명, 영어 좋아하는 사람 15명, 둘 다 8명.

물음	계산
하나라도 좋아하는 사람	18 + 15 − 8 = 25명
둘 다 안 좋아하는 사람	30 − 25 = 5명

단순히 더하면 33명 — 반 인원보다 많아진다 ⚠

이상한 결과가 검산이 됩니다

결과	—
합집합이 전체보다 크다	겹침을 안 뺐다
음수가 나온다	자료가 모순이다

"말이 안 되는 답" 이 계산 실수를 알려 준다

비유 — 명단 합치기

두 반의 명단을 합쳤는데 양쪽에 이름이 있는 학생이 있다면?

방식	결과
그냥 붙인다	중복 포함 ⚠
중복을 지운다	정확 ✔

7강의 집합에는 중복이 없다 는 성질이 여기서 문제가 된다

집합의 법칙 = 논리의 법칙

2강에서 배운 드모르간 법칙이 집합에서도 그대로 성립합니다.

(A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c
(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c

"둘 다에 속하지 않는다" = "A에 없거나 B에 없다". 논리에서 참·거짓으로 했던 이야기를 원소의 소속으로 바꿔 말한 것뿐이에요. 같은 구조를 두 번 배우는 것이 아니라, 한 구조를 두 언어로 배우는 것입니다.

논리에서 참이었던 법칙이 집합에서도 그대로 참입니다.

Python 브라우저에서 실행

U = set(range(1, 11))          # 전체집합 1~10
A = {x for x in U if x % 2 == 0}   # 짝수
B = {x for x in U if x > 6}        # 6 초과

왼쪽  = U - (A & B)            # (A ∩ B)^c
오른쪽 = (U - A) | (U - B)      # A^c ∪ B^c

print("U =", sorted(U))
print("A (짝수)   =", sorted(A))
print("B (6 초과) =", sorted(B))
print()
print("(A ∩ B)^c   =", sorted(왼쪽))
print("A^c ∪ B^c   =", sorted(오른쪽))
print("같은가?", 왼쪽 == 오른쪽, "← 드모르간 법칙")

고등학생'또는' 을 뺄셈으로 착각하지 마세요

note 의 이 경고를 구체적으로 봅시다.

일상어의 "또는" 은 배타적일 때가 많다

말	일상 뜻	논리 ∨
"커피 또는 차"	하나만 ⚠	둘 다도 참
"수학 또는 영어를 좋아한다"	둘 다 가능	같다 ✔

논리의 ∨ 는 포함적이다 — 둘 다여도 참

배타적 또는 — XOR

A	B	A ∨ B	A XOR B
T	T	T	F ⭐
T	F	T	T
F	F	F	F

"둘 다일 때" 만 다르다

집합으로는 대칭차

A △ B = (A∪B) − (A∩B) — 겹치지 않는 부분

쓰임	설명
차이 찾기	두 목록에서 다른 것만
버전 비교	추가·삭제된 항목

코드에서

a ^ b     # 대칭차 — 한쪽에만 있는 것
a | b     # 합집합
a & b     # 교집합
a - b     # 차집합

기호가 비트 연산과 같다 — 7강의 비트마스크와 통한다

실전 실수

의도	틀린 계산
"A 또는 B 인 사람"	\|A\| + \|B\| ⚠
"A 이지만 B 는 아닌 사람"	\|A\| − \|B\| ⚠

두 번째는 |A| − |A∩B| 다 — B 전체를 빼면 안 된다

B 중에 A 에 없는 것까지 빼 버리니까요.

A × B 는 (A의 원소, B의 원소) 짝을 모두 모은 집합입니다.

Python 브라우저에서 실행

# 곱집합 (데카르트 곱) — 짝을 모두 만들어 보기
상의 = {"흰티", "검정티"}
하의 = {"청바지", "반바지", "치마"}

곱집합 = {(a, b) for a in 상의 for b in 하의}
for 짝 in sorted(곱집합):
    print("  ", 짝)
print()
print(f"|A × B| = |A| × |B| = {len(상의)} × {len(하의)} = {len(곱집합)}")
print("→ 13강 '곱의 법칙' 이 여기서 시작됩니다.")

고등학생꼭 기억하세요

8강의 정리와 확장입니다.

집합 연산은 논리 연산이다 — 4강을 그대로 쓴다

세 개 이상일 때

17강에서 제대로 다루지만 모양은 예상됩니다.

개수	식
2개	+ −
3개	+ + + − − − +

부호가 번갈아 나온다 — 17강에서 왜 그런지 본다

곱집합

A × B = 모든 짝의 집합입니다.

—	크기
\|A × B\|	\|A\| × \|B\|

13강의 곱의 법칙이 집합으로 표현된 것

그리고 9강의 관계가 곱집합의 부분집합으로 정의됩니다. 집합 하나가 다음 강의 재료가 되는 거예요.

실무에서

SQL	집합 연산
`UNION`	합집합 (중복 제거)
`UNION ALL`	중복 유지 — 집합이 아니다
`INTERSECT`	교집합
`EXCEPT`	차집합
JOIN	곱집합의 부분집합 ⭐

SQL 이 집합론의 언어다 — 그래서 이 강의를 배운다

🤔 확인 문제

A = {1,2,3,4}, B = {3,4,5} 일 때 A − B 는?

해설 차집합은 A에는 있고 B에는 없는 것입니다. 3과 4는 B에도 있으니 빠지고 {1, 2}만 남아요. {1,2,5}는 대칭차 A △ B입니다.

🤔 확인 문제

30명 반에서 축구를 좋아하는 학생 18명, 농구를 좋아하는 학생 15명, 둘 다 좋아하는 학생이 7명일 때 적어도 하나를 좋아하는 학생 수는?

해설 |A ∪ B| = 18 + 15 − 7 = 26명입니다. 그냥 더한 33은 둘 다 좋아하는 7명을 두 번 센 값이에요. 참고로 아무것도 안 좋아하는 학생은 30 − 26 = 4명입니다.

🤔 확인 문제

(A ∪ B)^c 와 같은 것은?

해설 드모르간 법칙입니다 — 합집합의 여집합은 여집합의 교집합. "A에도 B에도 속하지 않는다"는 "A 밖에 있고 동시에 B 밖에 있다"는 뜻이니까요. 2강의 ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q 와 같은 문장입니다.