3강 / 20강

조건명제 — 만약 …라면

역 · 이 · 대우, 그리고 헷갈리는 '거짓이면 참'

"비가 오면 우산을 쓴다." 이 문장은 조건명제(implication)이고 p → q라고 씁니다. p는 가정, q는 결론이에요.

이 명제가 거짓이 되는 경우는 딱 하나뿐입니다 — 비가 왔는데(p 참) 우산을 안 쓴 경우(q 거짓). 약속을 어긴 순간이죠.

p (비가 온다)	q (우산을 쓴다)	p → q	왜?
참	참	참	약속대로 했다
참	거짓	거짓	약속을 어겼다 ← 이때만!
거짓	참	참	비도 안 오는데 우산을 썼을 뿐, 약속을 어긴 건 아니다
거짓	거짓	참	비가 안 왔으니 약속이 발동하지 않았다

마지막 두 줄이 이산수학을 처음 배울 때 가장 이상하게 느껴지는 부분입니다. 가정이 거짓이면 결론이 뭐든 조건명제는 참이에요. 이것을 공허한 참이라고 부릅니다.

고등학생만약 …라면

조건명제 P → Q 는 이산수학에서 가장 중요한 연결입니다.

"P 이면 Q 이다" — 증명의 기본 모양이다

언제 거짓이 되나

P	Q	P → Q
참	참	참
참	거짓	거짓 ⭐
거짓	참	참
거짓	거짓	참

거짓이 되는 경우는 딱 하나 — 약속하고 안 지킨 것

비유 — 약속

"시험을 100점 맞으면 자전거를 사 줄게"

점수	자전거	약속을 지켰나
100점	사 줬다	지켰다 ✔
100점	안 사 줬다	어겼다 ⚠
90점	안 사 줬다	지켰다 ✔
90점	사 줬다	지켰다 ✔

마지막 줄이 핵심이다 — 안 사 준다고 약속한 게 아니다

"100점이 아니면 안 사 준다" 는 다른 약속입니다. 그게 역이에요.

약속은 조건이 맞았을 때만 검증된다

p → q ≡ ¬p ∨ q — 조건명제는 새 연산이 아니라 ∨ 와 ¬ 로 만든 조합입니다.

Python 브라우저에서 실행

# 조건명제는 (not p) or q 와 완전히 같습니다
print("p      q      | p → q")
print("-" * 30)
for p in (True, False):
    for q in (True, False):
        조건 = (not p) or q
        print(f"{p!s:<7}{q!s:<7}| {조건}")
print()
print("거짓이 되는 경우는 p=True, q=False 딱 한 줄뿐입니다.")

🎮 약속을 어겼는지 직접 판정해 보세요

스위치를 눌러 p와 q를 바꿔 가며, 어떤 경우에 조건명제가 깨지는지 눈으로 확인해 보세요. 역·이·대우도 함께 계산해 줍니다.

고등학생거짓이면 참 — 왜 그렇게 정했나

가장 헷갈리는 부분입니다. 왜 이렇게 정했을까요?

"조건이 안 맞으면 약속을 어긴 게 아니다"

다르게 정하면 문제가 생깁니다

"모든 자연수 n 에 대해, n > 10 이면 n > 5" 는 참이어야 합니다.

n	n > 10	n > 5	이 경우가 참이어야
20	참	참	참 ✔
3	거짓	거짓	참이어야 전체가 참 ⭐

n=3 에서 거짓이 되면 당연히 참인 명제가 거짓이 된다

일상어와의 차이

일상에서 "비가 오면 우산을 쓴다" 는 비가 안 올 때를 말하지 않습니다.

	일상어	논리
조건이 거짓일 때	말하지 않았다	참으로 친다

"말하지 않음" 을 참 으로 처리하는 것이 수학의 약속이다

공허한 참

조건에 맞는 것이 하나도 없으면 항상 참입니다.

명제	참/거짓
"이 방의 모든 코끼리는 분홍색이다"	참 (코끼리가 없으면)

이상해 보이지만 일관성을 위해 필요하다

프로그래밍에서도 같습니다 — 빈 리스트에 대한 all() 은 True 예요.

역 · 이 · 대우

조건명제 p → q 에서 앞뒤를 바꾸거나 부정하면 세 친척이 생깁니다.

역(converse) q → p — "우산을 쓰면 비가 온다"
이(inverse) ¬p → ¬q — "비가 안 오면 우산을 안 쓴다"
대우(contrapositive) ¬q → ¬p — "우산을 안 썼다면 비가 안 온 것이다"

여기서 이 강의 전체에서 가장 쓸모 있는 사실 하나가 나옵니다.

원래 명제와 대우는 항상 같다. p → q ≡ ¬q → ¬p

반면 역과 이는 원래 명제와 다릅니다. 우산을 썼다고 꼭 비가 오는 건 아니니까요 (햇빛을 가릴 수도 있죠).

원래=대우, 역=이. 하지만 원래와 역은 다릅니다.

Python 브라우저에서 실행

def 표(이름, 식):
    return 이름, [식(p, q) for p in (True, False) for q in (True, False)]

원래 = 표("p → q      ", lambda p, q: (not p) or q)
역   = 표("q → p (역)  ", lambda p, q: (not q) or p)
이   = 표("¬p → ¬q (이)", lambda p, q: p or (not q))
대우 = 표("¬q → ¬p (대우)", lambda p, q: q or (not p))

for 이름, 값 in (원래, 역, 이, 대우):
    print(f"{이름}  {값}")
print()
print("원래 == 대우 ?", 원래[1] == 대우[1])
print("원래 == 역   ?", 원래[1] == 역[1])
print("역   == 이   ?", 역[1] == 이[1])

고등학생역을 참이라고 믿는 실수

note 의 이 경고가 일상에서 가장 자주 하는 논리 오류입니다.

이름	식	원래와 같나
원명제	P → Q	—
역	Q → P	다르다 ⚠
이	¬P → ¬Q	다르다 ⚠
대우	¬Q → ¬P	같다 ✔

대우만 항상 같다 — 그래서 6강의 대우증명이 가능하다

실제 예로 확인하면

명제	참/거짓
"서울에 살면 한국에 산다"	참
역: "한국에 살면 서울에 산다"	거짓 ⚠
대우: "한국에 안 살면 서울에 안 산다"	참 ✔

역이 참인지는 따로 확인해야 한다

일상에서의 오류

사실	잘못된 추론
"감기면 열이 난다"	"열이 나면 감기다" ⚠
"공부하면 성적이 오른다"	"성적이 오르면 공부했다" ⚠

원인과 결과를 뒤집는 것 — 아주 흔한 오류다

왜 대우는 같은가

진리표를 그려 보면 네 줄이 전부 같습니다.

직관적으로는 — "Q 가 아니면 P 도 아니다" 는 "P 이면 Q" 를 거꾸로 말한 것뿐입니다.

"불이 없으면 연기도 없다" = "연기가 있으면 불이 있다"

필요조건과 충분조건

p → q 를 말로 풀면 이렇습니다.

p는 q이기 위한 충분조건 — p면 q는 확실하다
q는 p이기 위한 필요조건 — q가 아니면 p일 수 없다

"고3이면 학생이다"에서 고3은 충분하고(고3이면 무조건 학생), 학생은 필요합니다(학생이 아니면 고3일 수 없음). 둘이 동시에 성립하면 p ↔ q, 필요충분조건이라 하고 "p일 때, 그리고 그때만 q"라고 읽어요.

쌍조건은 == 입니다. 그래서 프로그램에서 == 로 쓰는 거예요.

Python 브라우저에서 실행

# 쌍조건 p ↔ q — 둘의 참·거짓이 같을 때만 참
print("p      q      | p ↔ q   | 같은 값인가")
print("-" * 42)
for p in (True, False):
    for q in (True, False):
        쌍조건 = ((not p) or q) and ((not q) or p)   # (p→q) ∧ (q→p)
        print(f"{p!s:<7}{q!s:<7}| {쌍조건!s:<8}| {p == q}")
print()
print("p ↔ q 는 결국 'p == q' 와 같습니다.")

고등학생꼭 기억하세요

3강의 정리와 실전 쓰임입니다.

P → Q 는 P 가 참인데 Q 가 거짓일 때만 거짓

필요조건과 충분조건

말	뜻
P 는 Q 의 충분조건	P 이면 충분히 Q 다
Q 는 P 의 필요조건	P 이려면 Q 가 반드시 필요하다

P → Q 하나가 두 가지로 읽힌다

예로 확인하면

"사람이면 동물이다"

말	맞나
사람인 것은 동물이기에 충분	✔
동물인 것은 사람이기 위해 필요	✔ — 동물이 아니면 사람이 아니다

충분조건은 더 좁고 필요조건은 더 넓다

필요충분조건

P ↔ Q — 양쪽 다 성립할 때입니다.

예	—
"짝수다 ↔ 2로 나누어떨어진다"	같은 말 ✔

정의는 대개 필요충분이다 — 그래서 "…라고 정의한다"

코드에서

if not (조건):     # 대우로 뒤집기
    return         # 조기 반환

"조건이 아니면 나간다" 는 대우를 쓰는 것 — 코드가 납작해진다

🤔 확인 문제

p가 거짓, q가 거짓일 때 p → q 는?

🤔 확인 문제

"모든 소수는 홀수이다"의 대우는?

해설 p → q의 대우는 ¬q → ¬p — 결론을 부정하면 가정이 부정된다입니다. ①은 역, ③은 이예요. 참고로 원래 명제는 2 때문에 거짓이고, 대우도 (2가 홀수가 아닌데 소수이므로) 함께 거짓입니다 — 둘은 언제나 운명을 같이합니다.

🤔 확인 문제

"비밀번호가 8자 이상이어야 가입할 수 있다" — 8자 이상은 가입의 무엇인가요?