18강 / 20강

확률 — 세는 일의 다른 이름

경우의 수를 전체로 나누면 확률

13~15강에서 세는 법을 배웠으니 확률은 거의 공짜입니다. 모든 경우가 똑같이 일어날 법할 때, 확률은 나눗셈 한 번이에요.

P(사건) = (사건의 경우의 수) / (전체 경우의 수)

주사위 두 개의 합이 7일 확률? 합이 7이 되는 경우는 (1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) — 6가지. 전체는 36가지. 그래서 6/36 = 1/6.

확률은 늘 0 이상 1 이하이고, 일어나지 않을 확률 = 1 − (일어날 확률) 입니다 (13강의 여집합 요령이 여기서도 그대로예요).

고등학생세는 일의 다른 이름

부제가 정확합니다.

확률 = 맞는 경우 ÷ 전체 경우

그래서 13~17강이 그대로 쓰입니다

확률 문제	필요한 것
주사위 두 개 합이 7	세기 (13강)
로또 1등	조합 (15강)
같은 생일	여집합 (16강)
적어도 하나	포함배제 (17강)

확률의 어려움은 대개 세기의 어려움이다

⚠ 전제가 하나 있습니다

모든 경우가 똑같이 일어날 때만 이 공식이 맞다

상황	공식이 맞나
공정한 주사위	✔
주사위 두 개의 합	주의 — 합 7이 합 2보다 많다
내일 비가 올까	안 맞는다 ⚠

"경우가 둘이니 50%" 는 흔한 오류다

비유 — 과녁

과녁의 면적 비율이 곧 확률입니다.

—	—
전체 면적	전체 경우
영역 면적	맞는 경우

다만 고르게 던진다는 가정이 있어야 한다 — 그게 "똑같이 일어남" 이다

합이 7일 때가 가장 많습니다 — 만드는 방법이 가장 많으니까요.

Python 브라우저에서 실행

from itertools import product
from collections import Counter

경우 = list(product(range(1, 7), repeat=2))
합 = Counter(a + b for a, b in 경우)

print("합  경우의 수  확률      그래프")
for s in sorted(합):
    p = 합[s] / len(경우)
    print(f"{s:>2}{합[s]:>8}   {p:>6.3f}   {'█' * 합[s]}")
print(f"\n전체 {len(경우)}가지 · 확률의 합 = {sum(합.values())/len(경우):.1f}")

🎮 직접 굴려 보세요

수천 번 굴려 보면 실제 비율이 계산한 확률에 가까워집니다(큰 수의 법칙). 로또와 생일 문제도 함께 실험해 볼 수 있어요.

고등학생조건부 확률 — 정보가 확률을 바꾼다

확률에서 가장 중요한 개념입니다.

P(A|B) — B 를 알고 나서 A 의 확률

왜 바뀌나

전체 경우가 줄어들기 때문입니다.

—	전체	확률
주사위	1~6	3이 나올 확률 1/6
"홀수다" 를 알면	1,3,5	1/3 ⭐

정보가 후보를 좁힌다 — 그래서 확률이 오른다

공식

P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

읽어 보면 — "B 안에서 A 인 비율" 입니다.

독립이란

—	뜻
P(A\|B) = P(A)	B 를 알아도 안 바뀐다 = 독립

"관련이 없다" 를 수학적으로 정의한 것

⚠ 자주 하는 실수

혼동	—
P(A\|B) 와 P(B\|A)	완전히 다르다 ⚠

"암환자가 검사 양성일 확률" 과 "양성인 사람이 암일 확률" 은 전혀 다릅니다.

3강의 역은 원명제와 다르다 가 확률에서 되풀이된다

다음에서 이 혼동이 얼마나 큰 문제인지 봅니다.

독립과 조건부 — 앞의 결과가 뒤에 영향을 주나

독립 — 서로 영향이 없으면 P(A ∧ B) = P(A) × P(B). 동전을 두 번 던지는 것처럼요.
조건부확률 — "B가 일어났다고 알 때 A일 확률"은 P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B). 세계가 B로 좁혀진 것입니다.

동전은 앞이 열 번 나와도 다음이 뒤일 확률은 여전히 1/2입니다 (독립). 반면 카드를 뽑아 버리면 다음 확률이 바뀌죠 (독립이 아님).

조건부확률은 분모를 '알고 있는 세계'로 바꾸는 일입니다.

Python 브라우저에서 실행

# 조건부확률 — 세계를 좁혀서 다시 세기
from itertools import product
경우 = list(product(range(1, 7), repeat=2))

두개_다_짝수 = [c for c in 경우 if c[0] % 2 == 0 and c[1] % 2 == 0]
합이_8이상   = [c for c in 경우 if sum(c) >= 8]
둘다          = [c for c in 두개_다_짝수 if sum(c) >= 8]

print(f"P(둘 다 짝수)          = {len(두개_다_짝수)}/36 = {len(두개_다_짝수)/36:.3f}")
print(f"P(합 ≥ 8)              = {len(합이_8이상)}/36 = {len(합이_8이상)/36:.3f}")
print(f"P(둘 다 짝수 ∧ 합 ≥ 8) = {len(둘다)}/36 = {len(둘다)/36:.3f}")
print()
print(f"P(둘 다 짝수 | 합 ≥ 8) = {len(둘다)}/{len(합이_8이상)} = {len(둘다)/len(합이_8이상):.3f}")
print("→ '합이 8 이상'이라는 정보를 알면 확률이 달라집니다 (독립이 아님)")

고등학생검사 결과를 믿으면 안 되는 이유

note 의 이 이야기가 가장 실용적인 확률 지식입니다.

정확도 99% 검사가 양성이라도 — 병일 확률은 낮을 수 있다

계산해 봅시다

유병률 0.1%, 민감도·특이도 99% 인 검사입니다. 10만 명을 검사하면?

—	수
실제 환자	100명
그중 양성	99명
정상	99,900명
그중 양성 (1%)	999명 ⚠

양성 1,098명 중 진짜는 99명 — 9% 다

왜 이렇게 되나

정상인 사람이 훨씬 많아서 1% 의 실수만으로도 진짜 환자보다 많아집니다.

비교	—
환자 100명	vs
정상 99,900명	999배 많다

드문 병일수록 양성의 신뢰도가 낮다 — /ml 7강

베이즈 정리

P(병|양성) = P(양성|병)·P(병) / P(양성)

부분	뜻
P(병)	사전확률 — 검사 전 믿음
P(병\|양성)	사후확률 — 검사 후

사전확률이 낮으면 사후확률도 낮게 시작한다

그래서 실무에서

방법	—
고위험군만 검사	사전확률을 올린다 ✔
2차 검사	양성인 사람만 다시 — 사전확률이 9%

전 국민 선별검사가 신중해야 하는 이유가 이것이다

유병률을 0.1 로 바꿔 보세요. 결과가 완전히 달라집니다.

Python 브라우저에서 실행

# 위 이야기를 숫자로 확인 — 흔히 말하는 '기저율의 함정'
전체 = 100_000
유병률, 정확도 = 0.001, 0.99

환자 = int(전체 * 유병률)
건강 = 전체 - 환자
진짜양성 = int(환자 * 정확도)
가짜양성 = int(건강 * (1 - 정확도))

print(f"전체 {전체:,}명 중 환자 {환자:,}명, 건강한 사람 {건강:,}명")
print(f"양성 판정: 진짜 {진짜양성:,}명 + 가짜 {가짜양성:,}명 = {진짜양성+가짜양성:,}명")
print(f"\n양성일 때 실제 환자일 확률 = {진짜양성}/{진짜양성+가짜양성} "
      f"= {진짜양성/(진짜양성+가짜양성)*100:.1f}%")
print("→ 정확도 99% 검사인데도 양성의 대부분은 오탐입니다.")

확률이 아주 작아도 상금이 크면 기댓값에 기여합니다.

Python 브라우저에서 실행

import math
# 로또의 기댓값 (1등 20억, 2등 5천만, 3등 150만 가정)
전체 = math.comb(45, 6)
상금표 = {
    "1등 (6개)":       (1, 2_000_000_000),
    "2등 (5개+보너스)": (6, 50_000_000),
    "3등 (5개)":       (math.comb(6,5) * (45-6-1), 1_500_000),
}
기댓값 = 0
for 이름, (경우, 상금) in 상금표.items():
    p = 경우 / 전체
    기댓값 += p * 상금
    print(f"{이름:<18} 확률 1/{전체//max(경우,1):>12,}  기여 {p*상금:>8,.0f}원")
print(f"\n한 장(1,000원)의 기댓값 ≈ {기댓값:,.0f}원")

고등학생꼭 기억하세요

18강의 정리와 기댓값입니다.

확률 = 세기 ÷ 세기 — 다만 똑같이 일어날 때만

기댓값

기댓값 = Σ (값 × 확률) — 평균적으로 얼마

예	계산
주사위 눈	(1+2+…+6)/6 = 3.5
1000원 복권, 1/1000 로 50만원	기댓값 500원 — 손해 ⚠

기댓값이 실제로 나오는 값은 아니다 — 주사위에 3.5는 없다

기댓값의 힘 — 선형성

E[X+Y] = E[X] + E[Y] — 독립이 아니어도 성립한다 ⭐

이게 놀랍도록 유용합니다. 복잡한 것도 쪼개서 더하면 되니까요.

문제	—
선물 교환에서 자기 것을 받는 사람 수의 기댓값	각자 1/n × n = 1 ✔

17강의 복잡한 계산 없이 1 이 나온다

확률에서 조심할 것

오류	설명
도박사의 오류	"앞면이 계속 나왔으니 뒷면 차례" ⚠
기저율 무시	18강의 검사 문제
조건 뒤집기	P(A\|B) ≠ P(B\|A)
독립 착각	관련 있는 것을 곱한다

동전은 과거를 기억하지 않는다 — 독립이란 그런 뜻이다

이 네 오류는 일상에서 자주 저지릅니다. 알고만 있어도 큰 도움이 돼요.

🤔 확인 문제

동전을 3번 던져 앞면이 정확히 2번 나올 확률은?

해설 전체는 2³ = 8가지, 앞면 2번인 경우는 C(3,2) = 3가지(HHT, HTH, THH)이므로 3/8입니다. 조합이 곧 확률의 분자가 되는 전형적인 예예요.

🤔 확인 문제

동전을 던져 앞면이 연속 5번 나왔습니다. 다음에 뒤가 나올 확률은?

🤔 확인 문제

1000명 중 1명이 걸리는 병을 정확도 99% 검사로 진단해 양성이 나왔습니다. 실제 환자일 확률에 가장 가까운 것은?

해설 건강한 999명 중 1%인 약 10명이 오탐으로 양성이 되고 진짜 환자는 1명뿐이라, 1/11 ≈ 9%입니다. 드문 사건에서는 오탐이 진짜를 압도합니다 — 베이즈 정리의 교훈이에요.